sujet : Polynésie 2018

corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à 0,001 près.

partie a

1. 1. Justifier que $P\left(A\right)=\mathrm{0,45}$.

      L'effectif de l'entreprise est de $450+230+320=1000$ employés. D'où $$P\left(A\right)={\displaystyle \frac{450}{1000}}=\mathrm{0,45}$$

      $P\left(A\right)=\mathrm{0,45}$.

      ---

   2. Donner $P_A\left(T\right)$.

      40 % des employés du service A résident à moins de 30 minutes de l'entreprise d'où $P_A\left(T\right)=\mathrm{0,4}$.

      ---

   3. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré en indiquant les probabilités associées à chaque branche.

      D'après les données :

      • $P\left(B\right)={\displaystyle \frac{230}{1000}}=\mathrm{0,23}$ et $P\left(C\right)={\displaystyle \frac{320}{1000}}=\mathrm{0,32}$

      • $P_B\left(T\right)=\mathrm{0,2}$ et $P_C\left(T\right)=\mathrm{0,8}$

      D'où l'arbre pondéré représentat la situation :

2. Déterminer la probabilité que l'employé choisi soit du service A et qu'il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(A\cap T\right)=P_A\left(T\right)\times P\left(A\right)& \text{soit}& P\left(A\cap T\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,45}=\mathrm{0,18}\end{array}$$

   La probabilité que l'employé choisi soit du service A et qu'il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail est égale à 0,18.

   ---

3. Montrer que $P\left(T\right)=\mathrm{0,482}$.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(T\right)=P\left(A\cap T\right)+P\left(B\cap T\right)+P\left(C\cap T\right)$$

   Or $$\begin{array}{llll}& P\left(B\cap T\right)=P_B\left(T\right)\times P\left(B\right)& \text{soit}& P\left(B\cap T\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,23}=\mathrm{0,046}\\ \text{et}& P\left(C\cap T\right)=P_C\left(T\right)\times P\left(C\right)& \text{soit}& P\left(C\cap T\right)=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,32}=\mathrm{0,256}\end{array}$$

   On obtient alors $$P\left(T\right)=\mathrm{0,18}+\mathrm{0,046}+\mathrm{0,256}=\mathrm{0,482}$$

   La probabilité que l'employé choisi réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail est égale à 0,482.

   ---

4. Sachant qu'un employé de l'entreprise réside à plus de 30 minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu'il fasse partie du service C.

   $$P_{\overline{T}}\left(C\right)={\displaystyle \frac{P\left(C\cap \overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)}}$$

   Or $$\begin{array}{llll}& P\left(\overline{T}\right)=1-P\left(T\right)& \text{soit}& P\left(\overline{T}\right)=1-\mathrm{0,482}=\mathrm{0,518}\\ \text{et}& P\left(C\cap \overline{T}\right)=P_C\left(\overline{T}\right)\times P\left(C\right)& \text{soit}& P\left(C\cap \overline{T}\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,32}=\mathrm{0,064}\end{array}$$

   D'où $$P_{\overline{T}}\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,064}}{\mathrm{0,518}}}\approx \mathrm{0,124}$$

   La probabilité, arrondie au millième près, qu'un employé qui réside à plus de 30 minutes de son lieu de travail fasse partie du service C est 0,124.

   ---

5. On choisit successivement de manière indépendante 5 employés de l'entreprise. On considère que le nombre d'employés est suffisamment grand pour que ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise. Déterminer la probabilité qu'exactement 2 d'entre eux résident à moins de 30 minutes de leur lieu de travail.

   Soit Y la variable aléatoire associée au nombre d'employés qui résident à moins de 30 minutes de leur lieu de travail. Y suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\mathrm{0,482}$.

   À l'aide de la calculatrice, $P\left(Y=2\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\times {\mathrm{0,482}}^2\times {\left(1-\mathrm{0,482}\right)}^3\approx \mathrm{0,323}$.

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'exactement deux employés résident à moins de 30 minutes de leur lieu de travail est 0,323.

   ---

partie b

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque employé en France, associe son temps de trajet quotidien, en minutes, entre son domicile et l'entreprise. Une enquête montre que X suit une loi normale d'espérance 40 et d'écart type 10.

1. Calculer la probabilité que le trajet dure entre 20 minutes et 40 minutes.

   La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance $\mu =40$ et d'écart-type $\sigma =10$ donc $$P\left(40-2\times 10⩽X⩽40+2\times 10\right)\approx \mathrm{0,954}$$

   Par symétrie de la courbe par rapport à $\mu =40$ : $$P\left(20⩽X⩽40\right)={\displaystyle \frac{P\left(20⩽X⩽60\right)}{2}}\approx \mathrm{0,477}$$

   Ainsi, la probabilité que le trajet dure entre 20 minutes et 40 minutes est $P\left(20⩽X⩽40\right)\approx \mathrm{0,477}$.

   ---

2. Déterminer $P\left(X>50\right)$.

   La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance $\mu =40$ et d'écart-type $\sigma =10$ donc $$P\left(40-10⩽X⩽40+10\right)\approx \mathrm{0,683}$$

   On en déduit $$\begin{array}{ll}& P\left(X>50\right)=P\left(X⩾40\right)-P\left(40⩽X⩽50\right)\\ \text{soit}& P\left(X>50\right)\approx \mathrm{0,5}-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,683}}{2}}\approx \mathrm{0,159}\end{array}$$

   $P\left(X>50\right)\approx \mathrm{0,159}$

   ---

3. À l'aide de la méthode de votre choix, déterminer une valeur approchée du nombre a à l'unité près, tel que $P\left(X>a\right)=\mathrm{0,2}$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

   Avec la calculatrice, on trouve $P\left(X>a\right)=\mathrm{0,2}$ pour $a\approx 48$. La probabilité que le trajet soit supérieur à 48 minutes est égale à 0,2.

   ---

partie c

Cette entreprise souhaite faire une offre de transport auprès de ses employés. Un sondage auprès de quelques employés est effectué afin d'estimer la proportion d'employés dans l'entreprise intéressés par cette offre de transport. On souhaite ainsi obtenir un intervalle de confiance d'amplitude strictement inférieure à 0,15 avec un niveau de confiance de 0,95. Quel est le nombre minimal d'employés à consulter ?

Un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 0,95 est $I_C=\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ où f est la fréquence du caractère étudié dans un échantillon de taille n.

L'amplitude de l'intervalle de confiance est égale à ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$. Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude strictement inférieure à 0,15 le nombre minimal d'employés à consulter est le plus petit entier n solution de l'inéquation :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}<\mathrm{0,15}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}<\mathrm{0,075}\\ & \iff & \sqrt{n}>{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,075}}}\\ & \iff & n>{\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,075}}}\right)}^2\end{array}$$

Comme ${\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,075}}}\right)}^2\approx \mathrm{177,8}$ alors, le plus petit entier n tel que ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}<\mathrm{0,15}$ est $n=178$.

Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude strictement inférieure à 0,15 avec un niveau de confiance de 0,95, il faudrait interroger plus de 178 employés.

---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.