sujet : Polynésie 2018

corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

En économie le résultat net désigne la différence entre la recette et les charges d'une entreprise sur une période donnée. Lorsqu'il est strictement positif, c'est un bénéfice.
Propriétaire d'une société, Pierre veut estimer son résultat net à la fin de chaque mois.
À la fin du mois de janvier 2018, celui-ci était de 10000 euros.
Pierre modélise ce résultat net par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=10000$ et de terme général $u_n$ tel que $u_{n+1}=\mathrm{1,02}{u}_n-500$ où n désigne le nombre de mois écoulés depuis janvier 2018.

1. Quel est le montant du résultat net réalisé à la fin du mois de mars 2018 ?

   $$\begin{array}{l}{u}_1=\mathrm{1,02}\times 10000-500=9700\\ u_2=\mathrm{1,02}\times 9700-500=9394\end{array}$$

   Le résultat net réalisé à la fin du mois de mars 2018 est de 9394 euros.

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2. Pour tout entier naturel n, on pose $a_n=u_n-25000$.

   1. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $a_0$ et la raison.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{a}_{n+1}& =& u_{n+1}-25000\hfill \\ & =& \mathrm{1,02}{u}_n-500-25000\hfill \\ & =& \mathrm{1,02}{u}_n-25500\hfill \\ & =& \mathrm{1,02}\times \left(u_n-25000\right)\hfill \\ & =& \mathrm{1,02}{a}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n+1}=\mathrm{1,02}{a}_n$ donc $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et dont le premier terme $a_0=10000-25000=-15000$.

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   2. Exprimer $a_n$ en fonction de n et montrer que, pour tout entier naturel n, $u_n=25000-15000\times {\mathrm{1,02}}^n$.

      $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $a_0=-15000$ donc pour tout entier naturel n, on a :$$a_n=-15000\times {\mathrm{1,02}}^n$$

      Comme pour tout entier naturel n, $a_n=u_n-25000\iff u_n=a_n+25000$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=25000-15000\times {\mathrm{1,02}}^n$.

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   3. Résoudre l'inéquation $u_n=25000-15000\times {\mathrm{1,02}}^n>0$ où n désigne un entier naturel.
      Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcll}25000-15000\times {\mathrm{1,02}}^n>0& \iff & -15000\times {\mathrm{1,02}}^n>-25000& \\ & \iff & {\mathrm{1,02}}^n<{\displaystyle \frac{5}{3}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,02}}^n\right)<\ln {\displaystyle \frac{5}{3}}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{1,02}<\ln {\displaystyle \frac{5}{3}}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n<{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{5}{3}}}{\ln \mathrm{1,02}}}& \end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{5}{3}}}{\ln \mathrm{1,02}}}\approx \mathrm{25,8}$ alors, l'ensemble des solutions de l'inéquation $u_n=25000-15000\times {\mathrm{1,02}}^n>0$ sont les entiers naturels $n⩽25$.
      La société de Pierre est bénéficiaire pendant les 25 mois suivants janvier 2018.

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3. À l'aide d'un algorithme, Pierre souhaite déterminer le cumul total des résultats nets mensuels de la société jusqu'au dernier mois où l'entreprise est bénéficiaire.
   Recopier et compléter l'algorithme pour qu'à la fin de son exécution, la variable N contienne le nombre de mois pendant lesquels l'entreprise est bénéficiaire et la variable S le cumul total des résultats nets mensuels sur cette période.

   Au choix :

   $U\leftarrow 10000$ $S\leftarrow 0$ $N\leftarrow 0$ Tant que $U>190$ $S\leftarrow S+U$ $U\leftarrow \mathrm{1,02}\times U-500$ $N\leftarrow N+1$ Fin Tant que

   ou

   $U\leftarrow 10000$ $S\leftarrow 0$ $N\leftarrow 0$ Tant que $U⩽25$ $S\leftarrow S+U$ $U\leftarrow \mathrm{1,02}\times U-500$ $N\leftarrow N+1$ Fin Tant que

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