contrôles en première ES

contrôle du 22 novembre 2007

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre le système ${\begin{array}{rcr} x + 2 y - z & = & 1 \\ 2 x + y + z & = & - 2 \\ 3 x - 2 y & = & - 1 \end{array}$

La présence de seulement deux inconnues dans la troisième équation suggère de résoudre le système en le transformant par une suite de combinaisons linéaires appropriées en un système triangulaire équivalent : $\begin{array}{l} {\begin{array}{rcr} x + 2 y - z & = & 1 \\ 2 x + y + z & = & - 2 \\ 3 x - 2 y & = & - 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcr} x + 2 y - z & = & 1 \\ 3 x + 3 y & = & - 1 \\ 3 x - 2 y & = & - 1 \end{array} & \begin{array}{l} On conserve la première équation L_{1} \\ On remplace la deuxième équation L_{2} par la somme L_{1} + L_{2} \\ On conserve la dernière équation L_{3} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcr} x + 2 y - z & = & 1 \\ 3 x + 3 y & = & - 1 \\ - 5 y & = & 0 \end{array} & \begin{array}{l} L_{1} \\ L_{2} \\ L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcr} x - z & = & 1 \\ 3 x & = & - 1 \\ y & = & 0 \end{array} & On remplace y par sa valeur \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcr} - \frac{1}{3} - z & = & 1 \\ x & = & - \frac{1}{3} \\ y & = & 0 \end{array} & On remplace x par sa valeur \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcr} z & = & - \frac{4}{3} \\ x & = & - \frac{1}{3} \\ y & = & 0 \end{array} \end{array}$

Le système admet pour solution le triplet $(- \frac{1}{3}; 0; - \frac{4}{3})$ .

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