contrôle du 28 septembre 2017

Corrigé de l'exercice 1

1. Après une hausse de 8 % le prix d'un article est de 351 €. Quel était le prix de cet article avant la hausse ?

   Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 8 % est : $1+{\displaystyle \frac{8}{100}}=\mathrm{1,08}$.

   Augmenter un prix de 8 % revient à multiplier ce prix par 1,08. Soit x le montant en euros, du prix initial. Alors x est solution de l'équation : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{1,08}x=351& \iff & x={\displaystyle \frac{351}{\mathrm{1,08}}}=325\end{array}$$

   Avant l'augmentation, le prix de l'article était de 325€.

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2. Après une baisse de 6 % le prix d'un article est de 329 €. Quel était le prix de cet article avant la baisse ?

   Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 6 % est : $1-{\displaystyle \frac{6}{100}}=\mathrm{0,94}$.

   Diminuer un prix de 6 % revient à multiplier ce prix par 0,94. Soit x le montant en euros, du prix initial. Alors x est solution de l'équation : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,94}x=329& \iff & x={\displaystyle \frac{329}{\mathrm{0,94}}}=350\end{array}$$

   Avant la baisse, le prix de l'article était de 350€.

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3. Le cours d'une action a successivement augmenté de 15 % puis baissé de 20 %.

   1. Quel est le pourcentage d'évolution global de cette action ?

      Le coefficient multiplicateur correspondant au taux global d’évolution est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

      Soit t % le pourcentage global d'évolution :$$\begin{array}{rcl}1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\left(1+{\displaystyle \frac{15}{100}}\right)\times \left(1-{\displaystyle \frac{20}{100}}\right)& \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,92}-1\\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{0,92}-1=-\mathrm{0,08}\end{array}$$

      Le cours de l'action a finalement baissé de 8 %.

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   2. Si le cours initial de cette action était de 145 euros, quel sera son cours final ?

      $$145\times \mathrm{0,92}=\mathrm{133,4}$$

      Le cours final de l'action est de 133,40 euros.

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   3. Quel devra être le taux du pourcentage d'évolution pour que cette action retrouve son cours initial ?

      Le coefficient multiplicateur $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$ du pourcentage d'évolution réciproque est l'inverse de 0,92. En effet :$$\begin{array}{rcl}\mathrm{133,4}\times \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)=145& \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\displaystyle \frac{\mathrm{133,4}}{145}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,92}}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,92}}}-1\approx \mathrm{0,087}\end{array}$$

      L'action retrouvera son cours initial après une augmentation d'environ 8,7 %.

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