contrôle du 28 septembre 2017

Corrigé de l'exercice 3

Donner le tableau des variations de chacune des fonctions suivantes :

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+4x-1$.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ donc f admet un maximum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $$x=-{\displaystyle \frac{4}{2\times \left(-\mathrm{0,5}\right)}}=4$$

   Le maximum de la fonction f est : $$f\left(4\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 4^2+4\times 4-1=7$$

   D'où le tableau des variations de de la fonction f :

   x	$-\infty$		4		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			7

   ---

2. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2x^2-6x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=2$ donc f admet un minimum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $$x=-{\displaystyle \frac{-6}{2\times 2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$

   Le minimum de la fonction f est : $$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=2\times {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2-6\times {\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-4$$

   D'où le tableau des variations de de la fonction f :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-4$

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