contrôle du 28 septembre 2017

Corrigé de l'exercice 4

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. $3x^2-x-2=0$.

   $3x^2-x-2=0$ est une équation du second degré avec $a=3$, $b=-1$ et $c=-2$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-4\times 3\times \left(-2\right)=25\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{1-5}{2\times 3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{1+5}{2\times 3}}=1\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{2}{3}};1\right\}$

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2. $-6x^2+x+2=0$.

   $-6x^2+x+2=0$ est une équation du second degré avec $a=-6$, $b=1$ et $c=2$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1^2-4\times \left(-6\right)\times 2=49\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-1-7}{2\times \left(-6\right)}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-1+7}{2\times \left(-6\right)}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{2}{3}}\right\}$

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3. ${\left(2x+3\right)}^2={\left(1-3x\right)}^2$.

   Pour tout réel x,$$\begin{array}{rcl}{\left(2x+3\right)}^2={\left(1-3x\right)}^2& \iff & {\left(2x+3\right)}^2-{\left(1-3x\right)}^2=0\\ & \iff & \left[\left(2x+3\right)-\left(1-3x\right)\right]\times \left[\left(2x+3\right)+\left(1-3x\right)\right]=0\\ & \iff & \left(5x+2\right)\left(-x+4\right)=0\\ & \text{soit}& x=-{\displaystyle \frac{2}{5}}\text{ ou }x=4\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{2}{5}};4\right\}$

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4. $5x^2-9x+3=4x^2-8x+2$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}5x^2-9x+3=4x^2-8x+2& \iff & 5x^2-9x+3-4x^2+8x-2=0\\ & \iff & x^2-x+1=0\end{array}$$

   $x^2-x+1=0$ est une équation du second degré avec $a=1$, $b=-1$ et $c=1$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-4\times 1\times 1=-3\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }<0$ donc l'équation n'a pas de solution.

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