contrôle du 23 novembre 2017

Corrigé de l'exercice 2

partie a

Soit f la fonction affine telle que $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=1$ et $f\left({\displaystyle \frac{13}{2}}\right)=5$.

1. Déterminer l'expression de $f\left(x\right)$ en fonction de x.

   La fonction affine f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{f\left({\displaystyle \frac{13}{2}}\right)-f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}{{\displaystyle \frac{13}{2}}-\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{5-1}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   D'où, f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}+b$. Comme $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=1$ alors, b est solution de l'équation : $$\begin{array}{rcl}-{\displaystyle \frac{3}{4}}+b=1& \iff & b={\displaystyle \frac{7}{4}}\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}$.

   ---

2. Quel est le sens de variation de la fonction f ?

   Comme ${\displaystyle \frac{1}{2}}>0$ alors, la fonction affine f est strictement croissante.

   ---

3. Donner le tableau de signes de la fonction f.

   Pour tout réel x, $\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}⩽0& \iff & x⩽-{\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$. D'où le tableau de signes de $f\left(x\right)$ :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{7}{2}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

   ---

partie b

On considère la fonction g définie par $g\left(x\right)=\sqrt{2x+3}$.

1. Justifier que la fonction g est définie sur l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$.

   La fonction racine carrée est définie sur $\left[0;+\infty \right[$. Par conséquent, la fonction g est définie pour tout réel x tel que :$$\begin{array}{ccc}2x+3⩾0& \iff & x⩾-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$.

   La fonction g est définie sur l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$.

   ---

2. La courbe ${𝒞}_g$ représentative de la fonction g est tracée ci-dessous. Tracer la droite 𝒟 d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}$.

   La droite 𝒟 est la courbe représentative de la fonction affine f. Elle passe par les points de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};1\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{13}{2}};5\right)$

3. Résoudre l'équation $\sqrt{2x+3}={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}$.

   Sur l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$, ${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}>0$. Par conséquent, pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ on a :$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x+3}={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}& \iff & 2x+3={\left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}\right)}^2\\ & \iff & 2x+3={\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}x+{\displaystyle \frac{49}{16}}\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{16}}=0\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=0\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   L'équation $\sqrt{2x+3}={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}$ admet pour unique solution $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Part en pourcentagePourcentage d'évolutionIndicesSystème à deux inconnuesSystème à trois inconnuesSystème d'inéquationsFonctions généralitésFonctions associéesComposée de deux fonctionsFonctions de référenceSecond degré : fonctionsSecond degré : équation, inéquationSecond degré : applicationsStatistiqueProbabilitéVariable aléatoireLoi binomialeDérivée : lecture graphiqueDérivée d'une fonctionDérivée et variationLimites et dérivées : lecture graphiqueÉtude de fonctions (limites)SuitesFonctions affines par morceauxGéométrie dans l'espace (I)Équations de plansMatrices : calculsMatrices : Système d'équationMatrices : application à l'économieMatrices de transition

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.