contrôle du 23 novembre 2017

Corrigé de l'exercice 4

1. Par lecture graphique, donner le tableau de variation de la fonction f.

   x	$-\infty$		$-2$		2		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			2		0

2. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+4\right){\left(x-2\right)}^2}{16}}$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\left(x+4\right){\left(x-2\right)}^2}{16}}& =& {\displaystyle \frac{\left(x+4\right)\left(x^2-4x+4\right)}{16}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^3-4x^2+4x+4x^2-16x+16}{16}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^3-12x+16}{16}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^3}{16}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+1\end{array}$$.

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+4\right){\left(x-2\right)}^2}{16}}$.

      ---

   2. Établir le tableau de signes de $f\left(x\right)$.

      Pour tout réel x, ${\displaystyle \frac{{\left(x-2\right)}^2}{16}}⩾0$. Par conséquent, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+4\right){\left(x-2\right)}^2}{16}}$ est du même signe que $x+4$. D'où le tableau de signes de la fonction f :

      x	$-\infty$		$-4$		$+\infty$
      $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

3. Résoudre dans ℝ l'équation $g\left(x\right)=0$. En déduire une expression factorisée de $g\left(x\right)$.

   $-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}+{\displaystyle \frac{x}{4}}+3=0$ est une équation du second degré avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$, $b={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $c=3$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\displaystyle \frac{1}{16}}-4\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{8}}\right)\times 3={\displaystyle \frac{25}{64}}\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{4}}}{2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}}=6\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{4}}}{2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}}=-4\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation $g\left(x\right)=0$ est $S=\left\{-4;6\right\}$. On en déduit que pour tout réel x, $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{8}}\left(x+4\right)\left(x-6\right)$.

   ---

4. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+4\right)\left(x^2-2x-8\right)}{16}}$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(x+4\right){\left(x-2\right)}^2}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\left(x+4\right)\left(x-6\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x+4\right){\left(x-2\right)}^2+2\left(x+4\right)\left(x-6\right)}{16}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x+4\right)\left[{\left(x-2\right)}^2+2\left(x-6\right)\right]}{16}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x+4\right)\left(x^2-4x+4+2x-12\right)}{16}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x+4\right)\left(x^2-2x-8\right)}{16}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+4\right)\left(x^2-2x-8\right)}{16}}$.

      ---

   2. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rclll}f\left(x\right)⩽g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0& \iff & {\displaystyle \frac{\left(x+4\right)\left(x^2-2x-8\right)}{16}}⩽0\end{array}$$

      Cherchons les racines éventuelles du polynôme du second degré $x^2-2x-8$ avec $a=1$, $b=-2$ et $c=-8$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4-4\times 1\times \left(-8\right)=36\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{2-6}{2}}=-2\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{2+6}{2}}=4\end{array}$$

      Étudions le signe du produit ${\displaystyle \frac{\left(x+4\right)\left(x^2-2x-8\right)}{16}}$ à l'aide d'un tableau de signes :

      x	$-\infty$		$-4$		$-2$		4		$+\infty$
      $x+4$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+	$|$	+
      ${\displaystyle \frac{x^2-2x-8}{16}}$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      ---

      L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ est $S=\left]-\infty ;-4\right]\cup \left[-2;4\right]$.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Part en pourcentagePourcentage d'évolutionIndicesSystème à deux inconnuesSystème à trois inconnuesSystème d'inéquationsFonctions généralitésFonctions associéesComposée de deux fonctionsFonctions de référenceSecond degré : fonctionsSecond degré : équation, inéquationSecond degré : applicationsStatistiqueProbabilitéVariable aléatoireLoi binomialeDérivée : lecture graphiqueDérivée d'une fonctionDérivée et variationLimites et dérivées : lecture graphiqueÉtude de fonctions (limites)SuitesFonctions affines par morceauxGéométrie dans l'espace (I)Équations de plansMatrices : calculsMatrices : Système d'équationMatrices : application à l'économieMatrices de transition

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.