contrôle du 08 mars 2018

Corrigé de l'exercice 2

Une entreprise fabrique des articles en grande quantité qui nécessitent deux composants notés a et b.
Les articles peuvent être défectueux en raison de la défaillance d'un des deux composants ou des deux composants.
Les résultats obtenus lors des contrôles effectués avant la mise en vente des articles ont permis d'établir que 88 % des articles fabriqués ne sont pas défectueux, 8 % des articles ont un composant a défectueux et 7 % des articles ont un composant b défectueux.

partie a

On choisit au hasard un des articles fabriqués pour le contrôler. On note A l'évènement : « le composant a est défectueux » et B l'évènement : « le composant b est défectueux ».

1. Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$. Donner la probabilité de l'évènement $A\cup B$.

   $A\cup B$ est l'évènement « l'article est défectueux » d'où $$p\left(A\cup B\right)=1-\mathrm{0,88}=\mathrm{0,12}$$

   La probabilité que l'article est défectueux est égale à 0,12.

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2. Montrer que la probabilité que les deux composants sont défectueux est égale à 0,03.

   $$\begin{array}{rcl}p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cap B\right)& \iff & p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cup B\right)\\ & \text{Soit}& p\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,08}+\mathrm{0,07}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,03}\end{array}$$

   La probabilité que les deux composants sont défectueux est égale à 0,03.

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3. Calculer la probabilité que sur cet article il n'y a que le composant a qui soit défectueux.

   $$\begin{array}{rcl}p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)-p\left(A\cap B\right)& \text{Soit}& p\left(A\cap \overline{B}\right)=\mathrm{0,08}-\mathrm{0,03}=\mathrm{0,05}\end{array}$$

   La probabilité que sur cet article il n'y a que le composant a qui soit défectueux est égale à 0,05.

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partie b

Le coût de production d'un article est de 320 €. Lors du contrôle le remplacement du composant a défectueux augmente le coût de production de 12 € et le remplacement du composant b défectueux augmente le coût de 32 €.
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque article pris au hasard, associe son prix de revient.

1. Recopier et compléter le tableau suivant représentant la loi de probabilité de X :

   • Si l'article est sans défaut alors le prix de revient est égal à 320 €.
   • Si l'article n'a que le composant a défectueux alors le prix de revient est égal à 332 €.
   • Si l'article n'a que le composant b défectueux alors le prix de revient est égal à 352 €.
   • Si l'article a les deux composants défectueux alors le prix de revient est égal à 364 €.

   La probabilité que pour un article il n'y a que le composant b qui soit défectueux est égale à :$$\begin{array}{rcl}p\left(B\cap \overline{A}\right)=p\left(B\right)-p\left(A\cap B\right)& \text{Soit}& p\left(B\cap \overline{A}\right)=\mathrm{0,07}-\mathrm{0,03}=\mathrm{0,04}\end{array}$$

   D'où le tableau de la loi de probabilité de X :

   Prix de revient $x_i$	320	332	352	364
   $P\left(X=x_i\right)$	0,88	0,05	0,04	0,03

2. Calculer l'espérance mathématique $E\left(X\right)$. Interpréter le résultat.

   L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est :$$E\left(X\right)=320\times \mathrm{0,88}+332\times \mathrm{0,05}+352\times \mathrm{0,04}+364\times \mathrm{0,03}=\mathrm{323,2}$$

   Le prix de revient moyen d'un article est égal à 323,20 €.

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3. Déterminer le prix de vente d'un article pour que la marge bénéficiaire soit en moyenne égale à 25 % du prix de revient d'un article.

   $$\mathrm{323,2}\times \mathrm{1,25}=404$$

   Pour obtenir une marge bénéficiaire de 25 % du prix de revient, le prix de vente d'un article doit être de 404 €.

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