contrôle du 08 mars 2018

Corrigé de l'exercice 3

partie a

1. Déterminer une équation de la tangente T. En déduire $f\prime \left(1\right)$.

   La tangente T a pour équation :$$\begin{array}{rcl}y={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\times \left(x-x_A\right)+y_A& \text{soit}& y={\displaystyle \frac{2}{-1-1}}\times \left(x-1\right)\\ & \iff & y=-x+1\end{array}$$

   La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 1 a pour équation $y=-x+1$ d'où $f\prime \left(1\right)=-1$.

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2. La proposition $f\prime \left(4\right)⩾f\prime \left(1\right)$ est-elle vraie ?

   Sur l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$, la fonction f est croissante donc $f\prime \left(4\right)⩾0$.

   Ainsi, la proposition $f\prime \left(4\right)⩾f\prime \left(1\right)$ est vraie.

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partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x-1\right)\left(x^2-2x-11\right)}{12}}$.

1. Montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f={\displaystyle \frac{uv}{12}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v+uv\prime }{12}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x-1& \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)=x^2-2x-11& \text{;}& v\prime \left(x\right)=2x-2\end{array}$

   Soit pour tout réel x :$$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(x^2-2x-11\right)+\left(x-1\right)\left(2x-2\right)}{12}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2-2x-11+2x^2-2x-2x+2}{12}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3x^2-6x-9}{12}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

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2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      $f\prime$ est une fonction polynôme du second degré avec $a={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $c=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.
      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}=1\end{array}$. $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}-1}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=-1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}+1}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=3\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

      x	$-\infty$		$-1$		3		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	$-\infty$		$-1$		3		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f			${\displaystyle \frac{4}{3}}$		$-{\displaystyle \frac{4}{3}}$

3. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)-\left(-x+1\right)={\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^3}{12}}$.

      Pour tout réel x :$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-\left(-x+1\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(x-1\right)\left(x^2-2x-11\right)}{12}}-\left(-x+1\right)\\ & =& \left(x-1\right)\times \left({\displaystyle \frac{x^2-2x-11}{12}}+1\right)\\ & =& \left(x-1\right)\times {\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{12}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^3}{12}}\end{array}$$

   2. Étudier les positions relatives de la courbe ${𝒞}_f$ et de la droite d'équation $y=-x+1$.

      Les positions relatives de la courbe ${𝒞}_f$ et de la tangente T d'équation $y=-x+1$ se déduisent du signe de $f\left(x\right)-\left(-x+1\right)={\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^3}{12}}$.

      x	$-\infty$		1		$+\infty$
      ${\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^3}{12}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;1\right]$ la courbe ${𝒞}_f$ est en dessous de la tangente T.
      • Sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ la courbe ${𝒞}_f$ est au dessus de la tangente T.

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