contrôle du 08 mars 2018

Corrigé de l'exercice 4

Les résultats seront si nécessaire, arrondis au millième.

Le taux d'activité est le rapport entre le nombre d'actifs et la population en âge de travailler (ensemble des personnes âgées de 15 à 64 ans). Selon une étude de l'insee, le taux d'activité en France des 15-64 ans s'établit à 72 % au deuxième trimestre 2017.
Pour vérifier cette donnée, un lycéen interroge au hasard 50 personnes de sa ville âgées de 15 à 64 ans. On suppose que le nombre d'habitants est suffisamment important pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.
On note X la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre d'actifs.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.

   Le nombre d'habitants est suffisamment important pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise donc X suit la loi binomiale $ℬ\left(50;\mathrm{0,72}\right)$ de paramètres $n=50$ et $p=\mathrm{0,72}$.

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2. Calculer l'espérance mathématique $E\left(X\right)$. Interpréter le résultat.

   $E\left(X\right)=50\times \mathrm{0,72}=36$. Dans des échantillons de taille 50 on trouve en moyenne 36 actifs.

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3. Ci-dessous est donné un extrait du tableau donnant les valeurs, arrondies à ${10}^{-4}$, des probabilités $P\left(X⩽k\right)$, où k désigne un nombre entier naturel appartenant à l'intervalle $\left[0;50\right]$.

   k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$
   28	0,011 2	32	0,135 9	36	0,553 4	40	0,926 0
   29	0,023 2	33	0,213 0	37	0,674 9	41	0,963 5
   30	0,044 9	34	0,312 1	38	0,781 7	42	0,984 2
   31	0,080 9	35	0,428 6	39	0,866 3	43	0,994 1

   À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice :

   1. déterminer la probabilité que dans cet échantillon, il y a exactement 32 actifs ;

      • À l'aide de la calculatrice :$$P\left(X=32\right)=\left(\begin{array}{c}50\\ 32\end{array}\right)\times {\mathrm{0,72}}^{32}\times {\left(1-\mathrm{0,72}\right)}^{18}\approx \mathrm{0,055}$$

      • À l'aide du tableau :$$\begin{array}{ll}& P\left(X=32\right)=P\left(X⩽32\right)-P\left(X⩽31\right)\\ \text{soit}& P\left(X=32\right)\approx \mathrm{0,1359}-\mathrm{0,0809}=\mathrm{0,055}\end{array}$$

        Arrondie au millième près, la probabilité que dans cet échantillon on trouve 32 actifs est 0,055.

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   2. déterminer la probabilité que dans cet échantillon, il y a au moins 41 actifs.

      $$P\left(X⩾41\right)=1-P\left(X⩽40\right)\approx 1-\mathrm{0,926}=\mathrm{0,074}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité que dans cet échantillon il y a au moins 41 actifs est 0,074.

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4. On a trouvé dans cet échantillon 34 actifs.

   1. Déterminer un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des actifs dans un échantillon de taille 50, selon la loi binomiale $ℬ\left(50;\mathrm{0,72}\right)$.

      • Le plus petit entier a tel que $P\left(X⩽a\right)>\mathrm{0,025}$ est $a=30$

      • Le plus petit entier b tel que $P\left(X⩽b\right)⩾\mathrm{0,975}$ est $b=42$

      Un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des actifs dans un échantillon de taille 50 est :$$I=\left[{\displaystyle \frac{30}{50}};{\displaystyle \frac{42}{50}}\right]=\left[\mathrm{0,6};\mathrm{0,84}\right]$$

      Un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des actifs dans un échantillon de taille 50 est $I=\left[\mathrm{0,6};\mathrm{0,84}\right]$.

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   2. Le lycéen peut-il remettre en question l'hypothèse selon laquelle le taux d'activité en France des 15-64 ans s'établit à 72 % ?

      La fréquence du nombre d'actifs dans cet échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{34}{50}}=\mathrm{0,68}$$

      $\mathrm{0,68}\in \left[\mathrm{0,6};\mathrm{0,84}\right]$. La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation à 95 %, le résultat de ce sondage ne remet pas en question l'hypothèse selon laquelle le taux d'activité en France des 15-64 ans s'établit à 72 %.

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