contrôle du 08 mars 2018

Exercice 1

On lance deux dés équilibrés, on note a et b le résultat de chacun des deux dés.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque issue $\left\{a;b\right\}$ de cette épreuve aléatoire, associe le réel g définit par :

• si $a+b$ est un nombre impair alors g est égal au carré de la différence des deux nombres a et b ;
• si $a+b$ est un nombre pair alors g est égal à l'opposé de la somme des deux nombres a et b.

1. Recopier et compléter le tableau à double entrée qui modélise cette expérience aléatoire :

   	1	2	3	4	5	6
   1	$-2$	1	$-4$	9	$-6$	25
   2	1	$-4$	1	$-6$	9	$-8$
   3	$-4$	⋯	⋯	⋯	⋯	⋯
   4	9	⋯	⋯	⋯	⋯	⋯
   5	$-6$	⋯	⋯	⋯	⋯	⋯
   6	25	⋯	⋯	⋯	⋯	⋯

2. 1. Déterminer la loi de probabilité de X.

   2. Calculer la valeur exacte de l'espérance mathématique de X.

3. Calculer la probabilité de l'événement « $X>0$ ».

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Exercice 2

Une entreprise fabrique des articles en grande quantité qui nécessitent deux composants notés a et b.
Les articles peuvent être défectueux en raison de la défaillance d'un des deux composants ou des deux composants.
Les résultats obtenus lors des contrôles effectués avant la mise en vente des articles ont permis d'établir que 88 % des articles fabriqués ne sont pas défectueux, 8 % des articles ont un composant a défectueux et 7 % des articles ont un composant b défectueux.

partie a

On choisit au hasard un des articles fabriqués pour le contrôler. On note A l'évènement : « le composant a est défectueux » et B l'évènement : « le composant b est défectueux ».

1. Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$. Donner la probabilité de l'évènement $A\cup B$.

2. Montrer que la probabilité que les deux composants sont défectueux est égale à 0,03.

3. Calculer la probabilité que sur cet article il n'y a que le composant a qui soit défectueux.

partie b

Le coût de production d'un article est de 320 €. Lors du contrôle le remplacement du composant a défectueux augmente le coût de production de 12 € et le remplacement du composant b défectueux augmente le coût de 32 €.
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque article pris au hasard, associe son prix de revient.

1. Recopier et compléter le tableau suivant représentant la loi de probabilité de X :

   Prix de revient $x_i$	320	332	352	364
   $P\left(X=x_i\right)$				0,03

2. Calculer l'espérance mathématique $E\left(X\right)$. Interpréter le résultat.

3. Déterminer le prix de vente d'un article pour que la marge bénéficiaire soit en moyenne égale à 25 % du prix de revient d'un article.

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Exercice 3

partie a

On a représenté ci-dessous, la courbe ${𝒞}_f$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ ainsi que la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point $A\left(1;0\right)$. Cette tangente passe par le point $B\left(-1;2\right)$.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

1. Déterminer une équation de la tangente T. En déduire $f\prime \left(1\right)$.

2. La proposition $f\prime \left(4\right)⩾f\prime \left(1\right)$ est-elle vraie ?

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x-1\right)\left(x^2-2x-11\right)}{12}}$.

1. Montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

3. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)-\left(-x+1\right)={\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^3}{12}}$.

   2. Étudier les positions relatives de la courbe ${𝒞}_f$ et de la droite d'équation $y=-x+1$.

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Exercice 4

Les résultats seront si nécessaire, arrondis au millième.

Le taux d'activité est le rapport entre le nombre d'actifs et la population en âge de travailler (ensemble des personnes âgées de 15 à 64 ans). Selon une étude de l'insee, le taux d'activité en France des 15-64 ans s'établit à 72 % au deuxième trimestre 2017.
Pour vérifier cette donnée, un lycéen interroge au hasard 50 personnes de sa ville âgées de 15 à 64 ans. On suppose que le nombre d'habitants est suffisamment important pour assimiler cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.
On note X la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre d'actifs.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.

2. Calculer l'espérance mathématique $E\left(X\right)$. Interpréter le résultat.

3. Ci-dessous est donné un extrait du tableau donnant les valeurs, arrondies à ${10}^{-4}$, des probabilités $P\left(X⩽k\right)$, où k désigne un nombre entier naturel appartenant à l'intervalle $\left[0;50\right]$.

   k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$
   28	0,011 2	32	0,135 9	36	0,553 4	40	0,926 0
   29	0,023 2	33	0,213 0	37	0,674 9	41	0,963 5
   30	0,044 9	34	0,312 1	38	0,781 7	42	0,984 2
   31	0,080 9	35	0,428 6	39	0,866 3	43	0,994 1

   À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice :

   1. déterminer la probabilité que dans cet échantillon, il y a exactement 32 actifs ;

   2. déterminer la probabilité que dans cet échantillon, il y a au moins 41 actifs.

4. On a trouvé dans cet échantillon 34 actifs.

   1. Déterminer un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des actifs dans un échantillon de taille 50, selon la loi binomiale $ℬ\left(50;\mathrm{0,72}\right)$.

   2. Le lycéen peut-il remettre en question l'hypothèse selon laquelle le taux d'activité en France des 15-64 ans s'établit à 72 % ?

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