Pourcentages

III - Évolutions successives, évolution réciproque

1 - Taux d'évolution global

Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d'évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

démonstration

Soient $V_0$ la valeur initiale d'une grandeur, $V_1$ la valeur de cette grandeur après une évolution relative de $t_1\%$ et $V_2$ la valeur obtenue à partir de $V_1$ après une évolution relative de $t_2\%$. Ces évolutions se traduisent par :

Nous avons $V_1=V_0\times \left(1+{\displaystyle \frac{t_1}{100}}\right)$ et $V_2=V_1\times \left(1+{\displaystyle \frac{t_2}{100}}\right)$ d'où $V_2=V_0\times \left(1+{\displaystyle \frac{t_1}{100}}\right)\times \left(1+{\displaystyle \frac{t_2}{100}}\right)$

Soit t % le pourcentage d'évolution global de $V_0$ à $V_2$. $V_2=V_0\times \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)$ d'où $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\left(1+{\displaystyle \frac{t_1}{100}}\right)\times \left(1+{\displaystyle \frac{t_2}{100}}\right)$

exemple

En 2014, la production d'électricité de la filière thermique gaz était de 14,3 TWh. Entre 2014 et 2015, cette production a augmenté de 53,1 %, entre 2015 et 2016 elle a augmenté de 61,2 %.

• En 2016, la production d'électricité de la filière thermique gaz était : $$\mathrm{14,3}\times \left(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{53,1}}{100}}\right)\times \left(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{61,2}}{100}}\right)\approx \mathrm{35,3}$$ En 2016, la production d'électricité de la filière thermique gaz était de 35,3 TWh.
• Le taux global d'évolution de la production d'électricité de la filière thermique gaz entre 2014 et 2016 vérifie : $$1+{\displaystyle \frac{t}{100}}=\mathrm{153,1}\times \mathrm{161,2}\approx \mathrm{2,468}$$ Ce qui correspond à une augmentation d'environ 146,8 % de la production d'électricité de la filière thermique gaz entre 2014 et 2016.

2 - Évolution réciproque

L'évolution réciproque de la valeur $V_0$ à la valeur $V_1$ est l'évolution de la valeur $V_1$ à la valeur $V_0$.
L'évolution réciproque d'une évolution de coefficient multiplicateur $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$ est une évolution de coefficient multiplicateur inverse ${\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{t}{100}}}}$.

démonstration

Soient $V_0$ la valeur initiale d'une grandeur, $V_1$ la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t %.

Nous avons $V_1=V_0\times \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)$ donc $V_0={\displaystyle \frac{V_1}{1+{\displaystyle \frac{t}{100}}}}$. Par conséquent, le pourcentage d'évolution t' % de $V_1$ à $V_0$ est tel que $1+{\displaystyle \frac{t\text{'}}{100}}={\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{t}{100}}}}$.

exemple

Entre 2014 et 2015, la production d'électricité de la filière thermique fioul a augmenté de 15,2 %. Fin 2016 cette production est revenue à son niveau initial de 2014.

Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 15,2 % est : $1+{\displaystyle \frac{\mathrm{15,2}}{100}}=\mathrm{1,152}$.

Le pourcentage d'évolution t' % de la production d'électricité de la filière thermique fioul de 2015 à 2016 est tel que : $$\begin{array}{ccc}1+{\displaystyle \frac{t\text{'}}{100}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,152}}}& \iff & {\displaystyle \frac{t\text{'}}{100}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,152}}}-1\approx -\mathrm{0,132}\end{array}$$ Entre 2015 et 2016, la production d'électricité de la filière thermique fioul a baissé d'environ 13,2 %.

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