contrôle du 17 Octobre 2005

Corrigé de l'exercice 2

1. Montrer que pour tout réel x; $\left(x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\right)=x^2+x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}\left(x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\right)& =& x^2-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\\ & =& x^2+{\displaystyle \frac{\left(-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}+1\right)x}{2}}-{\displaystyle \frac{3-1}{4}}\\ & =& x^2+x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x; $\left(x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\right)=x^2+x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $x^2+x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{x}^2+x={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & x^2+x-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0\\ & \iff & \left(x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\right)=0\\ & \iff & x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}=0\text{ ou }x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}=0\\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\text{ ou }x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation $ℝ$ l'équation $x^2+x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\right\}$.

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