contrôle du 17 Octobre 2005

Corrigé de l'exercice 5

Dans le triangle ABC la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe [BC] en I. La droite (AI) est perpendiculaire aux droites (BJ) et (CK).

1. Montrer que ${\displaystyle \frac{IB}{IC}}={\displaystyle \frac{BJ}{CK}}$.

   $\begin{array}{c}\left(BJ\right)\perp \left(AI\right)\\ \left(CK\right)\perp \left(AI\right)\end{array}\}\Rightarrow \left(BJ\right)\parallel \left(CK\right)$. D'après le théorème de Thalès appliqué au triangle IBJ nous avons : ${\displaystyle \frac{IB}{IC}}={\displaystyle \frac{BJ}{CK}}$..

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2. Montrer que les triangles JAB et KAC sont semblables.

   (AI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ d'où $\widehat{BAI}=\widehat{IAC}$.

   Les triangles rectangles BAJ et CAK ayant un angle aigu de même mesure sont semblables.

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3. Montrer que ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{IB}{IC}}$.

   Les triangles BAJ et CAK sont semblables d'où ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{BJ}{CK}}$. Comme ${\displaystyle \frac{IB}{IC}}={\displaystyle \frac{BJ}{CK}}$, on en déduit que ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{IB}{IC}}$..

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remarque

Dans cet exercice, nous avons montré la propriété suivante :

Soit I le point d’intersection de la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ avec le côté [BC] d’un triangle ABC alors ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{IB}{IC}}$.

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