contrôle du 17 Octobre 2005

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. ${\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\left(2x+1\right)}^2$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\left(2x+1\right)}^2& \iff & {\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\left(2x+1\right)}^2=0\\ & \iff & \left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}-2x-1\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}+2x+1\right)=0\\ & \iff & \left(-x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(3x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0\\ & \iff & -x-{\displaystyle \frac{3}{2}}=0\text{ ou }3x+{\displaystyle \frac{1}{2}}=0\\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{ ou }x=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation ${\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\left(2x+1\right)}^2$ est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{3}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{6}}\right\}$.

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2. $\left(x+3\right)\left(1-2x\right)=x^2-9$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}\left(x+3\right)\left(1-2x\right)=x^2-9& \iff & \left(x+3\right)\left(1-2x\right)-\left(x^2-9\right)=0\\ & \iff & \left(x+3\right)\left(1-2x\right)-\left(x+3\right)\left(x-3\right)=0\\ & \iff & \left(x+3\right)\left(1-2x-x+3\right)=0\\ & \iff & \left(x+3\right)\left(-3x+4\right)=0\\ & \iff & x+3=0\text{ ou }-3x+4=0\\ & \iff & x=-3\text{ ou }x={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation $\left(x+3\right)\left(1-2x\right)=x^2-9$ est $S=\left\{-3;{\displaystyle \frac{4}{3}}\right\}$.

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