contrôle du 19 novembre 2005

Corrigé de l'exercice 5

A, B, C et D sont quatre points du cercle 𝒞 de centre O tels que les droites (AB) et (CD) sont sécantes en un point P.

1. Montrer que les triangles PAC et PBD sont semblables.

   Les triangles PAC et PBD ont l'angle $\widehat{APD}$ commun.

   D'autre part, les angles inscrits $\widehat{PAC}$ et $\widehat{PBD}$ interceptent le même arc $\stackrel{⏜}{BC}$ donc $\widehat{PAC}=\widehat{PBD}$

   Les triangles PAC et PBD ayant deux angles respectivement de même mesure sont semblables.

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2. En déduire que $PA\times PB=PC\times PD$.

   Les triangles PAC et PBD sont semblables donc ${\displaystyle \frac{PA}{PD}}={\displaystyle \frac{PC}{PB}}$ soit $PA\times PB=PC\times PD$.

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