contrôle du 16 février 2006

Corrigé de l'exercice 2

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

1. ${\displaystyle \frac{3x+4}{1-2x}}⩾0$.

   Le quotient ${\displaystyle \frac{3x+4}{1-2x}}$ n'est défini que pour $1-2x\ne 0$, soit $x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$

   D'autre part, $$\begin{array}{llllll}3x+4>0\iff x>-{\displaystyle \frac{4}{3}}& \text{et}& 1-2x>0& \iff & -2x>-1& \\ & & & \iff & x<{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{multiplication par un réel négatif.}\end{array}$$

   On dresse le tableau de signes :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{4}{3}}$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
   $3x+4$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $1-2x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   ${\displaystyle \frac{3x+4}{1-2x}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\left|\right|$	−

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   ${\displaystyle \frac{3x+4}{1-2x}}⩾0$ pour tout réel x de l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{4}{3}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right[$

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2. ${\displaystyle \frac{2x}{3x+2}}<1$

   Le quotient ${\displaystyle \frac{2x}{3x+2}}$ n'est défini que pour $3x+2\ne 0$, soit $x\ne -{\displaystyle \frac{2}{3}}$

   Pour tout réel $x\ne -{\displaystyle \frac{2}{3}}$ : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{2x}{3x+2}}<1& \iff & {\displaystyle \frac{2x}{3x+2}}-1<0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2x}{3x+2}}-{\displaystyle \frac{3x+2}{3x+2}}<0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2x-3x-2}{3x+2}}<0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-x-2}{3x+2}}<0\end{array}$$

   Étude des signes : $$\begin{array}{lcrcl}-x-2>0& \iff & -x>2& \text{et}& 3x+2>0\iff x>-{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ & \iff & x<-2& & \text{multiplication par un réel négatif.}\end{array}$$

   On dresse le tableau de signes :

   x	$-\infty$		− 2		$-{\displaystyle \frac{2}{3}}$		$+\infty$
   $-x-2$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$|$	−
   $3x+2$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   ${\displaystyle \frac{-x-2}{3x+2}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\left|\right|$	−

   ---

   ${\displaystyle \frac{2x}{3x+2}}<1$ pour tout réel $x\in ]-\infty ;-2[\cup \left]-{\displaystyle \frac{2}{3}};+\infty \right[$

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