contrôle du 16 février 2006

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\left(\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}x\right)}^2-{\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{0,5}\right)}^2$.

La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

1. Factoriser $f\left(x\right)$.

   $f\left(x\right)={\left(\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}x\right)}^2-{\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{0,5}\right)}^2$ , on reconnaît la forme développée $a^2-b^2$ avec $a=\left(\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}x\right)$ et $b=\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{0,5}\right)$. Donc : $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)& =& \left[\left(\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}x\right)-\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{0,5}\right)\right]\left[\left(\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}x\right)+\left(\mathrm{1,5}x-\mathrm{0,5}\right)\right]\\ & =& \left(\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}x+\mathrm{0,5}\right)\left(\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}x+\mathrm{1,5}x-\mathrm{0,5}\right)\\ & =& \left(3-2x\right)\left(x+2\right)\end{array}$$

   Ainsi, $f\left(x\right)=\left(3-2x\right)\left(x+2\right)$.

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2. 1. Déterminer une expression de la fonction affine g définie sur $ℝ$ telle que $g\left(-2\right)=7$ et $g\left(3\right)=-3$.

      g est une fonction affine alors $g\left(x\right)=ax+b$ avec : $$\begin{array}{lll}a& =& {\displaystyle \frac{g\left(3\right)-g\left(-2\right)}{3-\left(-2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-3-7}{3+2}}\\ & =& -2\end{array}$$

      Or $g\left(-2\right)=7$ d'où $-2\times \left(-2\right)+b=7$ soit $b=3$

      Ainsi, g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=-2x+3$

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère même repère que la courbe $C_f$.

      g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite D d'équation $y=-2x+3$ passant par les points de coordonnées $\left(-2;7\right)$ et $\left(3;-3\right)$.

3. 1. Factoriser l'expression $\left(3-2x\right)\left(x+2\right)-\left(3-2x\right)$.

      $$\begin{array}{lll}\left(3-2x\right)\left(x+2\right)-\left(3-2x\right)& =& \left(3-2x\right)\left[\left(x+2\right)-1\right]\\ & =& \left(3-2x\right)\left(x+1\right)\end{array}$$

      $\left(3-2x\right)\left(x+2\right)-\left(3-2x\right)=\left(3-2x\right)\left(x+1\right)$

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   2. Étudier les positions relatives des courbes $C_f$ et D.

      Les positions relatives de la courbe $C_f$ et de la droite D se déduisent de l'étude du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$. Or $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& \left(3-2x\right)\left(x+2\right)-\left(3-2x\right)\\ & =& \left(3-2x\right)\left(x+1\right)\end{array}$$

      Étudions le signe du produit $\left(3-2x\right)\left(x+1\right)$ : $$\begin{array}{lcrcl}3-2x⩾0& \iff & -2x⩾-3& \text{et}& x+1⩾0\iff x⩾-1\\ & \iff & x⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}& & \text{multiplication par un réel négatif.}\end{array}$$

      On dresse le tableau de signes :

      x	$-\infty$		− 1		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
      $3-2x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $x+1$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      $\left(3-2x\right)\left(x+1\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      • Si $x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ alors la courbe $C_f$ est sous la droite D.
      • Si $x\in \left]-1;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$ alors la courbe $C_f$ est au dessus de la droite D.
      • La droite D coupe la courbe $C_f$ en deux points d'abscises respectives $-1$ et ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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