contrôle du 22 décembre 2006

Exercice 1

La figure ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$.

1. À partir du graphique, donner le tableau des variations de la fonction f.

2. En justifiant votre réponse, donner le nombre de solutions des équations suivantes :

   1. $f\left(x\right)=2$.

   2. $f\left(x\right)=-2$.

   3. $f\left(x\right)=7$.

   4. $f\left(x\right)=-5$.

3. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. (Justifier chaque réponse)

   1. $f\left(-{\displaystyle \frac{19}{12}}\right)>f\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$.

   2. $f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)<f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

   3. $f\left(8\right)<f\left(12\right)$.

   4. Pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾-\mathrm{2,5}$.

4. Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   1. Tracer sur la courbe représentative de la fonction g sur le graphique précédent.

   2. Par lecture graphique , donner le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. (Justifier votre réponse)

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Exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2-4x-5$.

1. Calculer $f\left(2\right)$ et $f\left(-1\right)$.

2. Résoudre $f\left(x\right)=-9$.

3. Vérifier que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2-9$.

4. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾-9$.

5. En déduire que f admet un minimum sur $ℝ$.

6. Soit a et b deux réels distincts :

   1. Montrer que $f\left(a\right)-f\left(b\right)=\left(a-b\right)\left(a+b-4\right)$.

   2. Montrer que f est décroissante sur $\left]-\infty ;2\right]$.

   3. Montrer que f est croissante sur $\left[2;+\infty \right[$.

   4. Donner le tableau de variation de f.

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