contrôles en seconde

contrôle du 27 mars 2006

Corrigé de l'exercice 4

Soit (O;𝚤,ȷ) un repère du plan.

  1. On considère la droite 𝒟 d'équation y=3-x.

    1. Représenter graphiquement la droite 𝒟.

      La droite 𝒟 d'équation y=3-x coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0;3) et admet pour vecteur directeur u(1;-1).

      Intersection des deux droites : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. A est le point de la droite 𝒟 d'abscisse -1 et B est le point de de la droite 𝒟 d'ordonnée 1. Calculer les coordonnées des points A et B.

      A(-1;y) est un point de la droite 𝒟 alors, ses coordonnées vérifient l'équation de 𝒟 d'où y=3-(-1) soit y=4.

      B(x;1) est un point de la droite 𝒟 alors, ses coordonnées vérifient l'équation de 𝒟 d'où 1=3-x soit x=2.

      Les coordonnées des points A et B sont A(1;4) et B(2;1).


  2. Soit Δ la droite passant par le point E(2;5) et admettant pour vecteur directeur u(24).

    1. Soit F le point de coordonnées F(-1;-1). F est-il un point de la droite Δ ?

      La droite Δ passe par le point E(2;5) et admet pour vecteur directeur u(24). Le point F(-1;-1) est un point de la droite Δ si, et seulement si, les vecteurs u et EF sont colinéaires.

      Les coordonnées du vecteur EF sont : EF(-1-2-1-5)soitEF(-3-6)

      Comme 2×(-6)-4×(-3)=0, les vecteurs u et EF sont colinéaires (EF=-1,5u).

      Le point F(-1;-1) appartient à la droite Δ.


      Intersection des deux droites : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Déterminer une équation de la droite Δ.

      Soit M(x;y) un point de la droite Δ. Les vecteurs EM(x-2y-5) et u(24) sont colinéaires.

      La condition de colinéarité des vecteurs EM et u se traduit par :4×(x-2)-2×(y-5)=04x-8-2y+10=0y=2x+1

      La droite Δ a pour équation y=2x+1


  3. Calculer les coordonnées du point I intersection des droites 𝒟 et Δ.

    I(x;y) est le point d'intersection des droites 𝒟 et Δ, ses coordonnées sont solutions du système :{y=-x+3y=2x+1{y=-x+33-x=2x+1{y=-x+33x=2{y=-23+3x=23{y=73x=23

    Le point d'intersection des droites 𝒟 et Δ, a pour coordonnées I(23;73).



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