contrôles en seconde

contrôle du 27 septembre 2007

Corrigé de l'exercice 2

Pour chacun des nombres suivants, simplifier l'écriture puis, en déduire le plus petit ensemble $(ℕ, ℤ, ℚ ou ℝ)$ auquel il appartient :

$A = {(1 - \sqrt{16})}^{3}$ ; $B = \frac{3}{10^{- 4}}$ ; $C = {(\frac{\sqrt{8} - \sqrt{18}}{3})}^{2}$ ; $D = \frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{3}}$ ; $E = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} + 2}$ ; $F = \frac{1}{1 - \sqrt{2}} - \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ .

$\begin{array}{l} A & = & {(1 - \sqrt{16})}^{3} \\ = & {(1 - 4)}^{3} \\ = & {(- 3)}^{3} \\ = & - 27 \end{array}$

$A = - 27$ donc $A \in ℤ$

$\begin{array}{l} D & = & \frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{3}} \\ = & \frac{(2 \sqrt{6} - \sqrt{8}) \times \sqrt{3} - 6 \sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\ = & \frac{2 \sqrt{18} - \sqrt{24} - 6 \sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\ = & \frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\ = & - 2 \end{array}$

$D = - 2$ donc $D \in ℤ$

$\begin{array}{l} B & = & \frac{3}{10^{- 4}} \\ = & 3 \times 10^{4} \end{array}$

$B = 30 000$ donc $B \in ℕ$

$\begin{array}{l} E & = & \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} + 2} \\ = & \frac{\sqrt{2} \times (\sqrt{3} + 1)}{2 \times (\sqrt{3} + 1)} \\ = & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

Ou bien

$\begin{array}{l} E & = & \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} + 2} \\ = & \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \times (2 \sqrt{3} - 2)}{(2 \sqrt{3} + 2) \times (2 \sqrt{3} - 2)} \\ = & \frac{2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}}{12 - 4} \\ = & \frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{8} \\ = & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$E = \frac{\sqrt{2}}{2}$ donc $E \in ℝ$

$\begin{array}{l} C & = & {(\frac{\sqrt{8} - \sqrt{18}}{3})}^{2} \\ = & \frac{8 - 2 \times (2 \sqrt{2}) \times (3 \sqrt{2}) + 18}{9} \\ = & \frac{8 - 24 + 18}{9} \\ = & \frac{2}{9} \end{array}$

$C = \frac{2}{9}$ donc $C \in ℚ$

$\begin{array}{l} F & = & \frac{1}{1 - \sqrt{2}} - \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \\ = & \frac{1 + \sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2}) \times (1 + \sqrt{2})} - \frac{1 - \sqrt{2}}{(1 + \sqrt{2}) \times (1 - \sqrt{2})} \\ = & \frac{1 + \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2}}{1 - 2} \\ = & - 2 \sqrt{2} \end{array}$

$F = - 2 \sqrt{2}$ donc $F \in ℝ$

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