contrôle du 27 septembre 2007

Corrigé de l'exercice 3

1. Quel nombre faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ pour obtenir le double de ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ ?

   Soit x le nombre réel cherché, x est solution de l'équation : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{x+5}{x+4}}& =& {\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

   Soit $x\ne -4$ et x solution de l'équation : $$\begin{array}{lll}2\times \left(x+5\right)=5\times \left(x+4\right)& \iff & 2x+10=5x+20\\ & \iff & 2x-5x=20-10\\ & \iff & -3x=10\\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}$$

   Le nombre qu'il faut ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ pour obtenir le double de ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ est $-{\displaystyle \frac{10}{3}}$.

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2. Quel nombre faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ pour obtenir l'inverse de ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ ?

   Soit x le nombre réel cherché, x est solution de l'équation : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{x+7}{x+3}}& =& {\displaystyle \frac{3}{7}}\end{array}$$

   Soit $x\ne -3$ et x solution de l'équation : $$\begin{array}{lll}7\times \left(x+7\right)=3\times \left(x+3\right)& \iff & 7x+49=3x+9\\ & \iff & 7x-3x=9-49\\ & \iff & 4x=-40\\ & \iff & x=-10\end{array}$$

   Le nombre qu'il faut ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ pour obtenir l'inverse de ${\displaystyle \frac{7}{3}}$ est $-10$.

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