contrôle du 14 février 2008

Corrigé de l'exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

1. Placer les points $A\left(-2;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$, $B\left(4;-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ et $C\left(3;-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

2. Déterminer les coordonnées du milieu I du segment $\left[AB\right]$.

   Les coordonnées du point I milieu de [AB] sont $$\begin{array}{rlclllll}& x_I& =& {\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}& \text{et}& y_I& =& {\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}\\ \text{D'où}& x_I& =& {\displaystyle \frac{-2+4}{2}}=1& \text{et}& y_I& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}-\mathrm{0,5}}{2}}=1\end{array}$$

   Ainsi, le point I a pour coordonnées $I\left(1;1\right)$

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3. Le vecteur $\overrightarrow{u}\left(2;4\right)$ est-il colinéaire au vecteur $\overrightarrow{AB}$ ? au vecteur $\overrightarrow{BC}$ ?

   • Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $$\begin{array}{lllll}\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}4-\left(-2\right)\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\right)& \text{Donc}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}6\\ -3\end{array}\right)\end{array}$$

     D'autre part $$x_{\overrightarrow{u}}\times y_{\overrightarrow{AB}}-y_{\overrightarrow{u}}\times x_{\overrightarrow{AB}}=2\times \left(-3\right)-4\times 6=-30$$

     $x_{\overrightarrow{u}}\times y_{\overrightarrow{AB}}-y_{\overrightarrow{u}}\times x_{\overrightarrow{AB}}\ne 0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(2;4\right)$ et $\overrightarrow{AB}\left(6;-3\right)$ ne sont pas colinéaires.

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   • Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ sont $$\begin{array}{lllll}\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}{x}_C-x_B\\ y_C-y_B\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}3-4\\ -{\displaystyle \frac{5}{2}}-\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\end{array}\right)& \text{Donc}& \overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}\right)\end{array}$$

     D'autre part $$\begin{array}{ccccc}{x}_{\overrightarrow{u}}\times y_{\overrightarrow{BC}}-y_{\overrightarrow{u}}\times x_{\overrightarrow{BC}}& =& 2\times \left(-2\right)-4\times \left(-1\right)& =& 0\end{array}$$

     Les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(2;4\right)$ et $\overrightarrow{BC}\left(-1;-2\right)$ sont colinéaires.$\left(\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{BC}\right)$

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4. Soit $D\left(-1;y\right)$ où y est un nombre réel. Déterminer y pour que le point D appartienne à la droite (CI). Placer D dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

   Dire que $D\left(-1;y\right)$ est un point de la droite (CI) équivaut à dire que les vecteurs $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

   Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont :$$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{CI}\left(\begin{array}{c}1-3\\ 1-\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\end{array}\right)\iff \overrightarrow{CI}\left(\begin{array}{c}-2\\ {\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}\right)& \text{et}& \overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}-1-3\\ y-\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\end{array}\right)\iff \overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}-4\\ y+{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\right)\end{array}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, si et seulement si, $$\begin{array}{rcl}-2\times \left(y+{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{7}{2}}\times \left(-4\right)=0& \iff & -2y-5+14=0\\ & \iff & y={\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$$

   Le point D a pour coordonnées $D\left(-1;{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)$

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5. Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ?

   Le quadrilatère ACBD semble être un parallélogramme. Montrons le :

   Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DA}$ sont $\overrightarrow{DA}\left(-2+1;{\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)$ soit $\overrightarrow{DA}\left(-1;-2\right)$

   Les vecteurs $\overrightarrow{DA}\left(-1;-2\right)$ et $\overrightarrow{BC}\left(-1;-2\right)$ ont les mêmes coordonnées, ils sont égaux.

   $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}$ donc ACBD est un parallélogramme.

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6. Le point B appartient-il au cercle de diamètre $\left[AC\right]$ ?

   Le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ est orthonormé

   • $\overrightarrow{AB}\left(6;-3\right)$ donc ${AB}^2=6^2+{\left(-3\right)}^2=45$

   • $\overrightarrow{BC}\left(-1;-2\right)$ donc ${BC}^2={\left(-1\right)}^2+{\left(-4\right)}^2=5$

   • Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ sont $\overrightarrow{AC}\left(3+2;-{\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ soit $\overrightarrow{AC}\left(5;-5\right)$ donc ${AC}^2=5^2+{\left(-5\right)}^2=50$

   ${AB}^2+{BC}^2={AC}^2$ . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. Il est donc inscrit dans le cercle de diamètre [AC].

   B est un point du cercle de diamètre [AC].

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