contrôles en seconde

contrôle du 14 février 2008

Corrigé de l'exercice 3

Le coût total de fabrication de x milliers d'articles est donné par $C (x) = 45 x + 120$ (où $C (x)$ est exprimé en milliers d'euros) avec $x \in] 0; 15]$ .
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 60 €. La recette exprimée en milliers d'euros que l'entreprise obtient pour la vente de x milliers d'articles est donc $R (x) = 60 x$ .
Le bénéfice que réalise l'entreprise est égal à la différence entre la recette et le coût total de fabrication.

La figure ci-dessous, donne la courbe représentative de la fonction coût total dans un repère orthogonal.
Tracer la courbe représentative de la fonction recette.
La courbe représentative de la fonction : $x \mapsto 60 x$ est une droite passant par l'origine du repère et par le point de coordonnées $(10; 600)$ .
Quel est en milliers d'euros, le montant du bénéfice lorsque l'entreprise produit et vend 12 milliers d'articles ?
le montant du bénéfice lorsque l'entreprise produit et vend 12 milliers d'articles est : $\begin{array}{rcl} R (12) - C (12) & = & 60 \times 12 - (45 \times 12 + 120) \\ = & 720 - 660 \\ = & 60 \end{array}$
lorsque l'entreprise produit et vend 12 milliers d'articles, le bénéfice est de 60 milliers d'euros.
Est-il intéressant pour l'entreprise de fabriquer et vendre 4 000 articles ?
Le montant du bénéfice lorsque l'entreprise produit et vend 4 milliers d'articles est : $\begin{array}{rcl} R (4) - C (4) & = & 60 \times 4 - (45 \times 4 + 120) \\ = & 240 - 300 \\ = & - 60 \end{array}$
Lorsque l'entreprise produit et vend 4 milliers d'articles, la perte est de 60 milliers d'euros.
On note $B (x)$ le bénéfice lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles.
1. Donner l'expression de $B (x)$ en fonction de x, avec $x \in] 0; 15]$ .
  Pour tout réel $x \in] 0; 15]$ : $\begin{array}{rcl} B (x) = R (x) - C (x) & Soit & B (x) = 60 x - (45 x + 120) \\ \Leftrightarrow & B (x) = 60 x - 45 x - 120 \\ \Leftrightarrow & B (x) = 15 x - 120 \end{array}$
  B est la fonction définie sur $] 0; 15]$ par $B (x) = 15 x - 120$ .
2. Étudier le signe de $B (x)$ . En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
  Nous avons $\begin{matrix} 15 x - 120 < 0 & \Leftrightarrow & 15 x < 120 \\ \Leftrightarrow & x < 8 \end{matrix}$
  Le signe de $B (x)$ se déduit du signe de la fonction affine $x \mapsto 15 x - 120$ restreinte à l'intervalle $] 0; 15]$
  x 0 8 15
  Signe de $B (x)$ − $0_{|}^{|}$ +
  L'entreprise réalise un bénéfice positif pour toute production comprise entre 8 000 et 15 000 articles.

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x	0		8		15
Signe de $B (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+