contrôle du 20 mars 2008

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

1. Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}5x^2=15& \iff & x^2=3\end{array}$$

   Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $5x^2=15$ est $S=\left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}$

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2. Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}\left(x^2-4\right)=\left(x+2\right)& \iff & \left(x+2\right)\left(x-2\right)=\left(x+2\right)\\ & \iff & \left(x+2\right)\left(x-2\right)-\left(x+2\right)=0\\ & \iff & \left(x+2\right)\left(x-3\right)=0\end{array}$$

   Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $x^2-4=x+2$ est $S=\left\{-2;3\right\}$

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3. Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}3x^2<-6& \iff & x^2<-2\end{array}$$

   Or un carré est toujours positif.

   L'inéquation $3x^2<-6$ n'a pas de solution réelle.

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4. Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}-2x^2>-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & x^2<{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{1}{2}}<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, l'ensemble solution de l'inéquation $-2x^2>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ est $S=\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right[$

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5. Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}{x}^2⩽4x& \iff & x^2-4x⩽0\\ & \iff & x\left(x-4\right)⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe de $P\left(x\right)=x\left(x-4\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		0		4		$+\infty$
   x		−	0	+	$|$	+
   $x-4$		−	$|$	−	0	+
   $P\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   Ainsi, l'ensemble solution de l'inéquation $x^2⩽4x$ est $S=\left[0;4\right]$

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