contrôle du 20 mars 2008

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\left(2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2$.
La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

1. Factoriser $f\left(x\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\left(2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2& =& \left(\left(2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\right)\left(\left(2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\right)\\ & =& \left(2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}+x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(2x-{\displaystyle \frac{1}{2}}-x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\\ & =& \left(3x+1\right)\left(x-2\right)\end{array}$$

   Ainsi, $f\left(x\right)=\left(3x+1\right)\left(x-2\right)$.

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2. Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ telle que $g\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=0$ et $g\left(1\right)=4$. On note $C_g$ sa courbe représentative.

   1. Quelle est la nature de la courbe $C_g$ ? La tracer dans le repère précédent.

      g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite passant par les points $\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}};0\right)$ et $\left(1;4\right)$

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   2. Déterminer une expression de g en fonction de x.

      g est une fonction affine alors $g\left(x\right)=ax+b$ avec : $$a={\displaystyle \frac{g\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)-g\left(1\right)}{-{\displaystyle \frac{1}{3}}-1}}={\displaystyle \frac{0-4}{-{\displaystyle \frac{4}{3}}}}=3$$

      Or $g\left(1\right)=4$ d'où $3\times 1+b=4$ soit $b=1$

      Ainsi, g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=3x+1$

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3. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(3x+1\right)\left(x-3\right)$.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& \left(3x+1\right)\left(x-2\right)-\left(3x+1\right)\\ & =& \left(3x+1\right)\left(x-2-1\right)\\ & =& \left(3x+1\right)\left(x-3\right)\end{array}$$

   $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(3x+1\right)\left(x-3\right)$.

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4. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$.

   Les abscisses des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$ sont solution de $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)=0& \iff & \left(3x+1\right)\left(x-3\right)=0\\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{ ou }x=3\end{array}$$

   Les courbes $C_f$ et $C_g$ se coupent en deux points d'abscisses $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ et 3. Or $g\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=0$ et $g\left(3\right)=3\times 3+1=10$.

   Les deux points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$ ont pour coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}};0\right)$ et $\left(3;10\right)$.

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5. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$. En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et $C_g$.

   Étudions le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(3x+1\right)\left(x-3\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{3}}$		3		$+\infty$
   $\left(3x+1\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $\left(x-3\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   Les positions relatives des courbes $C_f$ et $C_g$ se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ :

   • Sur $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]\cup \left[3;+\infty \right[$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩾0$. Donc la courbe $C_f$ est au dessus de la courbe $C_g$ sur $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]\cup \left[3;+\infty \right[$.

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   • Sur $\left[-{\displaystyle \frac{1}{3}};4\right]$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0$. Donc la courbe $C_f$ est au dessous de la courbe $C_g$ sur $\left[-{\displaystyle \frac{1}{3}};4\right]$.

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