contrôles en seconde

contrôle du 20 mars 2008

Corrigé de l'exercice 3

Dans le plan muni d'un repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , on considère les points $A (- 4; - 1)$ , $B (3; 2)$ et $C (4; - 1)$ .

Les points A, B et C sont-ils alignés ?
Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ : $\begin{array}{l} \vec{A B} (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) & D'où & \vec{A B} (3 - (- 4); 2 - (- 1)) & Soit & \vec{A B} (7; 3) \\ \vec{A C} (x_{C} - x_{A}; y_{C} - y_{A}) & D'où & \vec{A C} (4 - (- 4); - 1 - (- 1)) & Soit & \vec{A C} (8; 0) \end{array}$
Or $7 \times 0 - 3 \times 8 \neq 0$ . Donc les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ ne sont pas colinéaires.
Les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
Déterminer les coordonnées du point D tel que $\vec{B D} = 2 \vec{B A} + \vec{A C}$ . Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
$\begin{array}{l} \vec{B D} = 2 \vec{B A} + \vec{A C} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x_{D} - x_{B} & = & 2 x_{\vec{B A}} + x_{\vec{A C}} \\ y_{D} - y_{B} & = & 2 y_{\vec{B A}} + y_{\vec{A C}} \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x_{D} - 3 & = & 2 \times (- 7) + 8 \\ y_{D} - 2 & = & 2 \times (- 3) + 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x_{D} & = & - 3 \\ y_{D} & = & - 4 \end{matrix} \end{array}$
Le point D a pour coordonnées $D (- 3; - 4)$
$\begin{array}{l} \vec{B D} = 2 \vec{B A} + \vec{A C} & \Leftrightarrow & \vec{B D} = \vec{B A} + \vec{B A} + \vec{A C} \\ \Leftrightarrow & \vec{B D} = \vec{B A} + \vec{B C} \\ \Leftrightarrow & A B C D est un parallélogramme \end{array}$
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

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