contrôle du 27 mai 2008

Corrigé de l'exercice 1

1. Calculer la moyenne de cette série statistique.

   Dans le cas d'une variable statistique continue, la moyenne est calculée avec les centres des classes

   Budget (en milliers d'euros)	$\left[0;50\right[$	$\left[50;70\right[$	$\left[70;100\right[$	$\left[100;120\right[$	$\left[120;150\right[$	$\left[150;200\right[$	$\left[200;240\right[$
   Centres : $x_i={\displaystyle \frac{a_i+b_i}{2}}$	25	60	85	110	135	175	220
   Nombre d'entreprises	10	28	45	34	42	33	8

   D'où une moyenne $$\overline{x}={\displaystyle \frac{25\times 10+60\times 28+85\times 45+110\times 34+135\times 42+175\times 33+220\times 8}{10+28+45+34+42+33+8}}={\displaystyle \frac{22700}{200}}=\mathrm{113,5}$$

   La moyenne des budgets consacrés à la publicité par les entreprises est de 113,5 milliers d'euros.

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2. Quelle est la classe médiane ? Déterminer la médiane de la série par le calcul.

   Budget (en milliers d'euros)	$\left[0;50\right[$	$\left[50;70\right[$	$\left[70;100\right[$	$\left[100;120\right[$	$\left[120;150\right[$	$\left[150;200\right[$	$\left[200;240\right[$
   Nombre d'entreprises	10	28	45	34	42	33	8
   Effectifs cumulés	10	38	83	117	159	192	200

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   Il y a 200 entreprises, donc la classe médiane est la classe $\left[100;120\right[$.

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   Calculons la médiane par interpolation linéaire :

   La médiane est l'abscisse du point de la droite passant par les points $A\left(100;83\right)$ et $B\left(120;117\right)$ dont l'ordonnée est égale à 100.

   La droite (AB) a pour équation, $y=mx+p$ avec $$\begin{array}{lllll}m& =& {\displaystyle \frac{117-83}{120-100}}& =& \mathrm{1,7}\end{array}$$

   Comme $A\left(100;83\right)$ est un point de la droite (AB), nous obtenons la relation $$\begin{array}{ccc}y=\mathrm{1,7}\left(x-100\right)+83& \iff & y=\mathrm{1,7}x-87\end{array}$$

   La médiane est la valeur associé à un effectif égal à 100 d'où x est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}\mathrm{1,7}x-87=100& \iff & x={\displaystyle \frac{100+87}{\mathrm{1,7}}}=110\end{array}$$

   Le budget médian est de 110 milliers d'euros.

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3. Calculer le pourcentage d'entreprises ayant un budget de publicité compris entre 70 et 150 milliers d'euros.

   Le nombre d'entreprises dont le budget de publicité est compris entre 70 et 150 milliers d'euros est $$45+34+42=121$$

   Ce qui représente un pourcentage des 200 entreprises de $${\displaystyle \frac{121}{200}}\times 100=\mathrm{60,5}$$

   60,5% des entreprises ont un budget de publicité compris entre 70 et 150 milliers d'euros.

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4. On veut représenter cette série par un histogramme.

   1. Compléter le tableau suivant :

      Classes : $\left[a_i;b_i\right[$	$\left[0;50\right[$	$\left[50;70\right[$	$\left[70;100\right[$	$\left[100;120\right[$	$\left[120;150\right[$	$\left[150;200\right[$	$\left[200;240\right[$
      Effectif : $n_i$	10	28	45	34	42	33	8
      Amplitude des classes : $b_i-a_i$	50	20	30	20	30	50	40
      Densité : ${\displaystyle \frac{n_i}{b_i-a_i}}$	0,2	1,4	1,5	1,7	1,4	0,66	0,2
      hauteur de bande : $h_i$	1	7	7,5	8,5	7	3,3	1

   2. Représenter l'histogramme :

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