contrôle du 27 mai 2008

Corrigé de l'exercice 3

La droite (AB) tracée ci-dessous passe par les points $A\left(4;2\right)$ et $B\left(-5;-1\right)$.

1. Déterminer une équation de la droite (AB).

   Les points $A\left(4;2\right)$ et $B\left(-5;-1\right)$ n'ont pas la même abscisse donc une équation de la droite (AB) est $y=mx+p$ avec $$\begin{array}{lll}m={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& m={\displaystyle \frac{-1-2}{-5-4}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

   Ainsi, la droite (AB) a pour équation $$\begin{array}{ccccc}y={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(x-x_A\right)+y_A& \text{Soit}& y={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(x-4\right)+2& \iff & y={\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

   La droite (AB) a pour équation $y={\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}$

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2. 1. Tracer dans le même repère la droite D d'équation $5x+17y-38=0$.

      La droite D passe par les points $\left(-6;4\right)$ et $\left(\mathrm{4,2};1\right)$.

   2. Le point $E\left(11;-1\right)$ est-il élément de la droite D ?

      $$5\times 11+17\times \left(-1\right)-38=0$$

      Les coordonnées du point $E\left(11;-1\right)$ vérifient l'équation de la droite alors E est un point de la droite D.

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3. Résoudre dans $ℝ$ le système $S:\{\begin{array}{rcl}5x+17y& =& 38\\ y& =& {\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$

   $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcl}5x+17y& =& 38\\ y& =& {\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}5x+17\times \left({\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)& =& 38\\ y& =& {\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{32x}{3}}& =& 38-{\displaystyle \frac{34}{3}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& {\displaystyle \frac{80}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{32}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\end{array}$$

   Le couple solution du système S est $\left(\mathrm{2,5};\mathrm{1,5}\right)$

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