contrôles en seconde

contrôle commun du 19 mai 2009

Corrigé de l'exercice 1

La courbe $C_{f}$ tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, est la courbe représentative d'une fonction f définie sur $ℝ$

Par lecture graphique :

Quelle est l'image de 2 par la fonction f ? Quel est l'antécédent de −1 ?
- Le point de la courbe $C_{f}$ d'abscisse 2 a pour ordonnée 3 donc $f (2) = 3$
- La droite d'équation $y = - 1$ , coupe la courbe $C_{f}$ en un seul point d'abscisse − 2 donc − 2 est l'antécédent de −1
Donner le tableau établissant le signe de f.
La courbe représentative de la fonction f est au dessus de l'axe des abscisses pour les points dont les abscisses sont dans l'intervalle $[- 1; + \infty [$ . D'où le tableau du signe de f :
x − ∞ − 1 + ∞
Signe de f − $0_{|}^{|}$ +

Donner le tableau des variations de la fonction f.

Avec la précision permise par le dessin, le tableau des variations de la fonction f est :

x	– ∞		−2		1		+ ∞
Variations de f			−1

Soit a et b deux réels tels que $1 ⩽ a < b$ , comparer $f (a)$ et $f (b)$ .
Sur l'intervalle $[1; + \infty [$ , la fonction f est strictement décroissante donc si $1 ⩽ a < b$ alors, $f (a) > f (b)$ .
Tracer sur le graphique précédent, la droite d d'équation $y = x + 1$ .
La droite d d'équation $y = x + 1$ passe par les points de coordonnées $(0; 1)$ et $(2; 3)$ .
À l'aide du graphique :
1. donner le nombre de solutions de l'équation $f (x) = x + 1$ ;
  La droite d d'équation $y = x + 1$ coupe la courbe $C_{f}$ en trois points d'abscisses respectives − 2, 0 et 2 donc :
  L'équation $f (x) = x + 1$ admet trois solutions.
2. résoudre l'inéquation $f (x) - x - 1 ⩽ 0$ .
  $\begin{matrix} f (x) - x - 1 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & f (x) ⩽ x + 1 \end{matrix}$
  Graphiquement, les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points de la courbe $C_{f}$ situés au-dessous et sur la droite d.
  L'ensemble solution de l'inéquation $f (x) - x - 1 ⩽ 0$ est $S = [- 2; - 1] \cup [2; + \infty [$ .

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x	− ∞		− 1		+ ∞
Signe de f		−	$0_{\|}^{\|}$	+