contrôle commun du 19 mai 2009

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ-\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{8}{2x-1}}$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Calculer $f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ et $f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

   $\begin{array}{ccccccc}f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& =& {\displaystyle \frac{8}{2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-1}}& =& {\displaystyle \frac{8}{-1-1}}& =& -4\end{array}$

   $\begin{array}{ccccccc}f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)& =& {\displaystyle \frac{8}{2\times {\displaystyle \frac{5}{2}}-1}}& =& {\displaystyle \frac{8}{5-1}}& =& 2\end{array}$

   $f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-4$ et $f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=2$.

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2. Calculer l'abscisse du point A de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est égale à − 2.

   A est un point de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est égale à − 2 alors son abscisse x est solution de l'équation $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=-2& \iff & {\displaystyle \frac{8}{2x-1}}=-2\\ & \iff & {\displaystyle \frac{8}{2x-1}}+2=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{8+2\times \left(2x-1\right)}{2x-1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{8+4x-2}{2x-1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{4x+6}{2x-1}}=0\\ & \iff & 4x+6=0\text{ et }2x-1\ne 0\\ & \text{Soit}& x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   Le point A a pour coordonnées $A\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};-2\right)$.

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3. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-4\right)=-7$ et $g\left(3\right)=7$.

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      g est une fonction affine alors pour tout réel x, $g\left(x\right)=ax+b$ avec : $$a={\displaystyle \frac{g\left(3\right)-g\left(-4\right)}{3-\left(-4\right)}}={\displaystyle \frac{7-\left(-7\right)}{3+4}}=2$$

      D'où $g\left(x\right)=2\times \left(x-3\right)+g\left(3\right)$. Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)=2\left(x-3\right)+7& \iff & g\left(x\right)=2x-6+7\\ & \iff & g\left(x\right)=2x+1\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=2x+1$

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   2. Tracer la représentation graphique D de la fonction g dans le repère précédent.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D d'équation $y=2x+1$. Cette droite passe par les points de coordonnées $\left(-4;-7\right)$ et $\left(3;7\right)$.

4. 1. Montrer que pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{9-4x^2}{2x-1}}$.

      Pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{8}{2x-1}}-\left(2x+1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{8-\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)}{2x-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{8-\left(4x^2-1\right)}{2x-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{9-4x^2}{2x-1}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{9-4x^2}{2x-1}}$.

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   2. Étudier le signe de l'expression ${\displaystyle \frac{\left(3+2x\right)\left(3-2x\right)}{2x-1}}$.

      Le quotient ${\displaystyle \frac{\left(3+2x\right)\left(3-2x\right)}{2x-1}}$ est défini pour tout réel x tel que $$\begin{array}{ccc}2x-1\ne 0& \iff & x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$$$

      Pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$, étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{\left(3+2x\right)\left(3-2x\right)}{2x-1}}$ à l'aide d'un tableau de signes :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
      $2x+1$		−	$|$	−		+	$|$	+
      $3+2x$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+		+	$|$	+
      $3-2x$		+	$|$	+		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      ${\displaystyle \frac{\left(3+2x\right)\left(3-2x\right)}{2x-1}}$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   3. En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et D.

      Les positions relatives des courbes $C_f$ et D se déduisent de l'étude du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$. Or Pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{9-4x^2}{2x-1}}={\displaystyle \frac{\left(3+2x\right)\left(3-2x\right)}{2x-1}}$. D'où :

      • sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$ ou $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩾0$. Donc la courbe $C_f$ est au-dessus de la droite D pour tous les points dont l'abscisse $x\in \left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]\cup \left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$ ;
      • sur chacun des intervalles $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right[$ ou $\left[{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0$. Donc la courbe $C_f$ est au-dessous de la droite D pour tous les points dont l'abscisse $x\in \left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right[\cup \left[{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ ;
      • la courbe $C_f$ coupe la droite D en deux points d'abscisses respectives $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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