contrôle commun du 19 mai 2009

Corrigé de l'exercice 3

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

partie a :

Dans le plan muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on considère les points $C\left(1;1\right)$, $E\left(-1;2\right)$ et $F\left(0;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$.

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ : $$\begin{array}{lllll}\overrightarrow{CE}\left(x_E-x_C;y_E-y_C\right)& \text{D'où}& \overrightarrow{CE}\left(-1-1;2-1\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{CE}\left(-2;1\right)\\ \overrightarrow{CF}\left(x_F-x_C;y_F-y_C\right)& \text{D'où}& \overrightarrow{CF}\left(0-1;{\displaystyle \frac{3}{2}}-1\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{CF}\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\end{array}$$

   Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ sont $\overrightarrow{CE}\left(-2;1\right)$ et $\overrightarrow{CF}\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

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2. Les points C, E et F sont-ils alignés ?

   $\overrightarrow{CE}\left(-2;1\right)$ et $\overrightarrow{CF}\left(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ d'où $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{CF}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ sont colinéaires.

   Les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ sont colinéaires donc les points C, E et F sont alignés.

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partie b :

Sur le dessin ci-dessous, ABCD est un parallélogramme.

1. Placer les points les points E et F tels que $\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$   et $\overrightarrow{AF}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AD}$ .

2. Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ .

   $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}$
   Or ABCD est un parallélogramme d'où $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ . Donc $$\begin{array}{llll}& \overrightarrow{CE}=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\left(-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\right)& \text{et}& \overrightarrow{CF}=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AD}\\ \text{Soit}& \overrightarrow{CE}=-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}& \text{et}& \overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AD}\end{array}$$

   Ainsi, $\overrightarrow{CE}=-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AD}$

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3. Montrer que les points E, C et F sont alignés.

   $\overrightarrow{CE}=-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$  et $\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AD}$  donc $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{CF}$ , les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ sont colinéaires.

   Les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ sont colinéaires donc les points C, E et F sont alignés.

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remarque :

Dans le plan muni du repère $\left(\mathrm{A};\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$ , les coordonnées des points E et F sont $E\left(-1;2\right)$ et $F\left(0;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$. Or ABCD étant un parallélogramme, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$  donc les coordonnées du point C sont $C\left(1;1\right)$.

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