contrôles en seconde

contrôle du 18 décembre 2008

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${(3 - 2 x)}^{2} ⩽ {(3 x + 1)}^{2}$

$\begin{array}{rcl} {(3 - 2 x)}^{2} ⩽ {(3 x + 1)}^{2} & \Leftrightarrow & {(3 - 2 x)}^{2} - {(3 x + 1)}^{2} ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & [(3 - 2 x) + (3 x + 1)] [(3 - 2 x) - (3 x + 1)] ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & (3 - 2 x + 3 x + 1) (3 - 2 x - 3 x - 1) ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & (x + 4) (2 - 5 x) ⩽ 0 \end{array}$

Étudions le signe du produit $(x + 4) (2 - 5 x)$ à l'aide d'un tableau de signes :

$\begin{matrix} x + 4 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩽ - 4 \end{matrix}$

et $\begin{matrix} 2 - 5 x ⩽ 0 & \Leftrightarrow & - 5 x ⩽ - 2 & \Leftrightarrow & x ⩾ \frac{2}{5} \end{matrix}$

On dresse le tableau de signes pour étudier le signe du produit :

x	$- \infty$		− 4		$\frac{2}{5}$		$+ \infty$
Signe de $(x + 4)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$\|$	+
Signe de $(2 - 5 x)$		+	$\|$	+	$0_{\|}^{\|}$	−
Signe de $(x + 4) (2 - 5 x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−

L'ensemble solution de l'inéquation ${(3 - 2 x)}^{2} ⩽ {(3 x + 1)}^{2}$ est donc $S =] - \infty; - 4] \cup [\frac{2}{5}; + \infty [$

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