contrôle du 18 décembre 2008

Corrigé de l'exercice 3

1. Dans le plan muni du repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$ donné en annexe, placer les points $A\left(-4;-6\right)$, $B\left(6;-2\right)$ et $C\left(-2;2\right)$

2. Soit G le point du plan tel que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ .

   1. Montrer que $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ .

      D'après la relation de Chasles : $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}& \iff & \overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\\ & \iff & 3\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\\ & \iff & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{GO}\end{array}$$

      Ainsi, $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\iff 3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

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   2. En déduire les coordonnées du point G.

      Dans le plan muni du repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$, $$\begin{array}{rcl}3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}& \iff & 3\left(x_G\overrightarrow{𝚤}+y_G\overrightarrow{ȷ}\right)=\left(x_A\overrightarrow{𝚤}+y_A\overrightarrow{ȷ}\right)+\left(x_B\overrightarrow{𝚤}+y_B\overrightarrow{ȷ}\right)+\left(x_C\overrightarrow{𝚤}+y_C\overrightarrow{ȷ}\right)\\ & \iff & 3x_G\overrightarrow{𝚤}+3y_G\overrightarrow{ȷ}=\left(x_A+x_B+x_C\right)\overrightarrow{𝚤}+\left(y_A+y_B+y_C\right)\overrightarrow{ȷ}\end{array}$$

      Soit $$\begin{array}{cccc}& x_G={\displaystyle \frac{x_A+x_B+x_C}{3}}& \text{ d'où}& x_G={\displaystyle \frac{-4+6-2}{3}}=0\\ \text{et}& y_G={\displaystyle \frac{y_A+y_B+y_C}{3}}& \text{ d'où}& y_G={\displaystyle \frac{-6-2+2}{3}}=-2\end{array}$$

      Les coordonnées du point G sont $G\left(0;-2\right)$.

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3. I et J sont les milieux respectifs des segments [BC] et [AC].

   1. Calculer les coordonnées des points I et J.

      • Le point I est le milieu du segment [BC] ses coordonnées sont : $$\begin{array}{ccccc}I\left({\displaystyle \frac{x_B+x_C}{2}};{\displaystyle \frac{y_B+y_C}{2}}\right)& \text{Soit}& I\left({\displaystyle \frac{6-2}{2}};{\displaystyle \frac{-2+2}{2}}\right)& \text{d'où}& I\left(2;0\right)\end{array}$$

      • Le point J est le milieu du segment [AC] ses coordonnées sont : $$\begin{array}{ccccc}J\left({\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}};{\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}}\right)& \text{Soit}& J\left({\displaystyle \frac{-4-2}{2}};{\displaystyle \frac{-6+2}{2}}\right)& \text{d'où}& J\left(-3;-2\right)\end{array}$$

      Ainsi, les coordonnées des points I et J sont $I\left(2;0\right)$ et $J\left(-3;-2\right)$.

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   2. Déterminer une équation de chacune des deux médianes (AI) et (BJ).

      • Les points $A\left(-4;-6\right)$ et $I\left(2;0\right)$ n'ont pas la même abscisse par conséquent, la droite (AI) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées son équation est de la forme $y=mx+p$.

        Les coordonnées des points A et I vérifient l'équation de la droite (AI) par conséquent, m et p sont solutions du système $$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{rrr}-4m+p& =& -6\\ 2m+p& =& 0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}p& =& 4m-6\\ 2m+4m-6& =& 0\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}p& =& 4m-6\\ 6m& =& 6\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rrr}p& =& -2\\ m& =& 1\end{array}\end{array}$$

        Ainsi, la droite (AI) a pour équation $y=x-2$

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      • Les points $B\left(6;-2\right)$ et $J\left(-3;-2\right)$ ont la même ordonnée − 2. Donc la droite (BJ) est parallèle à l'axe des abscisses.

        Donc, la droite (BJ) a pour équation $y=-2$

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   3. Vérifier que G est le point d'intersection des droites (AI) et (BJ)

      Les coordonnées du point $G\left(0;-2\right)$ vérifient les équations des droites (AI) et (BJ).

      G est le point d'intersection des médianes (AI) et (BJ) c'est le centre de gravité du triangle ABC

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4. Soit K le point tel que $\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GK}$. Les points A, K et B sont-ils alignés ?

   G est le centre de gravité du triangle ABC par conséquent, la droite (CG) est une médiane du triangle ABC

   Or le point K de la médiane (CG) tel que $\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GK}$ est le milieu du segment [AB].

   Les points A, K et B sont alignés.

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   remarque :

   On peut également montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AK}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires :

   Calculons les coordonnées du point $K\left(x;y\right)$. Les vecteurs $\overrightarrow{CG}$ et $\overrightarrow{GK}$ ont pour coordonnées : $$\begin{array}{cccc}& \overrightarrow{CG}\left(x_G-x_C;y_G-y_C\right)& \text{soit}& \overrightarrow{CG}\left(2;-4\right)\\ \text{et}& \overrightarrow{GK}\left(x_K-x_G;y_K-y_G\right)& \text{soit}& \overrightarrow{GK}\left(x;y+2\right)\end{array}$$

   Par conséquent, $$\begin{array}{rclll}\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GK}& \iff & \{\begin{array}{rrr}2x& =& 2\\ 2\left(y+2\right)& =& -4\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}x& =& 1\\ y& =& -4\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, le point K a pour coordonnées $K\left(1;-4\right)$

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AK}$ :$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AB}\left(10;4\right)\\ \overrightarrow{AK}\left(x_K-x_A;y_K-y_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AK}\left(5;2\right)\end{array}$$

   D'où $$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AK}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AK}$ sont colinéaires donc les points A, B et K sont alignés.

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