contrôle du 12 février 2009

Corrigé de l'exercice 2

1. Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par $f\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{x+3}}$ ?

   La fonction f est définie pour tout réel x tel que $x+3\ne 0\iff x\ne -3$

   Le domaine de définition de la fonction f est $D_f=\left]-\infty ;-3\right[\cup \left]-3;+\infty \right[$

   ---

2. Étudier les variations de la fonction f et donner son tableau de variation.

   • Soit a et b deux réels tels que $a<b<-3$ d'où $a+3<b+3<0$.

     Or la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right[$ donc :

     $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{a+3}}>{\displaystyle \frac{1}{b+3}}& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{a+3}}<-{\displaystyle \frac{2}{b+3}}\\ & \iff & 1-{\displaystyle \frac{2}{a+3}}<1-{\displaystyle \frac{2}{b+3}}\end{array}$$

     Ainsi, si $a<b<-3$ alors $f\left(a\right)<f\left(b\right)$ donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-3\right[$

     ---

   • Soit a et b deux réels tels que $-3<a<b$ d'où $0<a+3<b+3$.

     Or la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ donc :

     $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{a+3}}>{\displaystyle \frac{1}{b+3}}& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{a+3}}<-{\displaystyle \frac{2}{b+3}}\\ & \iff & 1-{\displaystyle \frac{2}{a+3}}<1-{\displaystyle \frac{2}{b+3}}\end{array}$$

     Ainsi, si $-3<a<b$ alors $f\left(a\right)<f\left(b\right)$ donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$

     ---

   D'où le tableau des variations de la fonction f :

   x	$-\infty$		$-3$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Calcul numériqueIntervalles et ordreFonctions généralitésFonctions : variationsFonctions de référence : ApplicationsFonction affineFonction carréFonction inverseSecond degréFonction homographiqueÉquationsInéquationsStatistiquesProbabilitésVecteursRepérage dans le planÉquation de droitesSystèmes d'équationsTrigonométrieGéométrie dans l'espaceTriangles isométriques, Triangles semblablesQ.C.M

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.