contrôle du 12 février 2009

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2-4x-3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. La courbe $C_f$ est tracée en annexe ci-dessous.

1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2-7$

   Considérons $x^2-4x$ comme le "début" du développement du produit remarquable ${\left(x-2\right)}^2=x^2-4x+4$. Donc $x^2-4x={\left(x-2\right)}^2-4$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{x}^2-4x-3& =& \left[{\left(x-2\right)}^2-4\right]-3\\ & =& {\left(x-2\right)}^2-7\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2-7$.

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2. 1. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$.

      Soit a et b deux réels tels que $a<b⩽2$ d'où $a-2<b-2⩽0$.

      Or la fonction carrée est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ donc :

      $$\begin{array}{ccc}{\left(a-2\right)}^2>{\left(b-2\right)}^2& \iff & {\left(a-2\right)}^2-7>{\left(b-2\right)}^2-7\end{array}$$

      Ainsi, si $a<b⩽2$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$

      ---

   2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$.

      Soit a et b deux réels tels que $2⩽a<b$ d'où $0⩽a-2<b-2$.

      Or la fonction carrée est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ donc :

      $$\begin{array}{ccc}{\left(a-2\right)}^2<{\left(b-2\right)}^2& \iff & {\left(a-2\right)}^2-7<{\left(b-2\right)}^2-7\end{array}$$

      Ainsi, si $2⩽a<b$ alors $f\left(a\right)<f\left(b\right)$ donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$

      ---

   3. Donner le tableau des variations de la fonction f. En déduire le minimum de la fonction f.

      Le tableau des variations de la fonction f est :

      x	$-\infty$		2		$+\infty$
      $f\left(x\right)$			− 7

      D'après les variations de la fonction f, le minimum est atteint pour $x=2$. Or $f\left(2\right)=-7$

      Le minimum de la fonction f est égal à − 7.

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3. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-1\right)=10$ et $g\left(3\right)=-6$

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      g est une fonction affine alors pour tout réel x, $g\left(x\right)=ax+b$ avec : $$a={\displaystyle \frac{g\left(3\right)-g\left(-1\right)}{3-\left(-1\right)}}={\displaystyle \frac{-6-10}{3+1}}=-4$$

      D'où $g\left(x\right)=-4\left(x-3\right)+g\left(3\right)$. Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)=-4\left(x-3\right)-6& \iff & g\left(x\right)=-4x+12-6\\ & \iff & g\left(x\right)=-4x+6\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=-4x+6$

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère othogonal donné en annexe.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D d'équation $y=-4x+6$. Cette droite passe par les points de coordonnées $\left(-1;10\right)$ et $\left(3;-6\right)$.

4. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ . En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et D.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x^2-4x-3\right)-\left(-4x+6\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^2-4x-3+4x-6\\ & \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^2-9\\ & \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x+3\right)\end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left(x-3\right)\left(x+3\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		− 3		3		$+\infty$
   Signe de $x-3$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $x+3$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   − Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-3\right]$ ou $\left[3;+\infty \right[$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩾0$. Donc la courbe $C_f$ est au dessus de la droite D pour tous les points dont l'abscisse x appartient à $\left]-\infty ;-3\right]\cup \left[3;+\infty \right[$

   − Sur l'intervalle $\left[-3;3\right]$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0$. Donc la courbe $C_f$ est au dessous de la droite D pour tous les points dont l'abscisse x appartient à $\left[-3;3\right]$

   − La courbe $C_f$ coupe la droite D en deux points d'abscisses respectives − 3 et 3.

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