contrôle du 16 mars 2009

Corrigé de l'exercice 1

Étudier la parité des fonctions suivantes :

1. f est définie sur l'intervalle $\left]-5;5\right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{25-x^2}}$

   L'intervalle $\left]-5;5\right[$ est symétrique par rapport à 0 donc si $x\in \left]-5;5\right[$, alors $-x\in \left]-5;5\right[$ . Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-5;5\right[$, $$\begin{array}{rcl}f\left(-x\right)& =& {\displaystyle \frac{2\times \left(-x\right)}{25-{\left(-x\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-2x}{25-x^2}}\\ & =& -f\left(x\right)\end{array}$$

   La fonction f est impaire.

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2. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2-x}{4+x^2}}$

   $ℝ$ est symétrique par rapport à 0. Pour tout réel x , $$\begin{array}{rcl}f\left(-x\right)& =& {\displaystyle \frac{2-\left(-x\right)}{4+{\left(-x\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2+x}{4+x^2}}\end{array}$$

   La fonction f n'est ni paire ni impaire.

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3. f est définie sur $\left]-\infty ;-3\right]\cup \left[3;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-9}$

   L'ensemble des réels $\left]-\infty ;-3\right]\cup \left[3;+\infty \right[$ est symétrique par rapport à 0 donc si $x\in \left]-\infty ;-3\right]\cup \left[3;+\infty \right[$, alors $-x\in \left]-\infty ;-3\right]\cup \left[3;+\infty \right[$ .
   Pour tout réel x de l'ensemble $\left]-\infty ;-3\right]\cup \left[3;+\infty \right[$, $$\begin{array}{rcl}f\left(-x\right)& =& \sqrt{{\left(-x\right)}^2-9}\\ & =& \sqrt{x^2-9}\\ & =& f\left(x\right)\end{array}$$

   La fonction f est paire.

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