contrôle du 16 mars 2009

Corrigé de l'exercice 2

1. Montrer que pour tout réel x, $x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}-3={\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{16}}$

   Considérons $x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}$ comme le "début" du développement du produit remarquable ${\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2=x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}$ . Soit $x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}={\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{16}}$

   Donc pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{x}^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}-3& =& \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{16}}\right]-3\\ & =& {\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{16}}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}-3={\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{16}}$.

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2. Résoudre dans $ℝ$, l'inéquation $x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}⩾3$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{x}^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}⩾3& \iff & x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}-3⩾0\\ & \iff & {\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{16}}⩾0\\ & \iff & \left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{7}{4}}\right)\left(x+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}\right)⩾0\\ & \iff & \left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(x+2\right)⩾0\end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(x+2\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		$-2$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   Signe de $x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $x+2$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   Signe de $\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(x+2\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   L'ensemble solution de l'inéquation est $S=\left]-\infty ;-2\right]\cup \left[{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$

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