contrôles en seconde

contrôle du 16 mars 2009

Corrigé de l'exercice 3

La courbe Cf représentative d'une fonction f a pour équation par y=3x+1. La courbe Cf est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous.

  1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

    La fonction f est définie pour tout réel x tel que x+10x-1

    f est la fonction définie sur ]-;-1[]-1;+[ par f(x)=3x+1


    1. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-;-1[.

      Soit a et b deux réels tels que a<b<-1 d'où a+1<b+1<0.

      Or la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle ]-;0[ donc :

      1a+1>1b+13a+1>3b+1

      Ainsi, si a<b<-1 alors f(a)>f(b) donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-;-1[


    2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]-1;+[.

      Soit a et b deux réels tels que -1<a<b d'où 0<a+1<b+1.

      Or la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;+[ donc :

      1a+1>1b+13a+1>3b+1

      Ainsi, si -1<a<b alors f(a)>f(b) donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-1;+[


    3. Donner le tableau des variations de la fonction f.

      D'après l'étude précédente, nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f :

      x- -1 +
      f(x) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  2. Soit g la fonction affine telle que g(-5)=-7 et g(3)=9

    1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      g est une fonction affine alors pour tout réel x, g(x)=ax+b avec : a=g(3)-g(-5)3-(-5)=9-(-7)3+5=2

      D'où g(x)=2(x-3)+g(3). Soit pour tout réel x, g(x)=2(x-3)+9g(x)=2x-6+9g(x)=2x+3

      Ainsi, g est la fonction définie sur par g(x)=2x+3


    2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère othogonal donné en annexe.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D d'équation y=2x+3. Cette droite passe par les points de coordonnées (-5;-7) et (3;9).

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Résoudre dans , l'inéquation 3x+12x+3. Interpréter graphiquement le résultat.

    Pour tout réel x]-;-1[]-1;+[, 3x+12x+33x+1-(2x+3)03-(2x+3)(x+1)x+103-(2x2+2x+3x+3)x+10-2x2-5xx+10-x(2x+5)x+10

    Étudions le signe du quotient -x(2x+5)x+1 à l'aide d'un tableau de signes :

    x- -52 -1 0 +
    Signe de x +|+ +0|| 
    Signe de 2x+5 0||+ +|+ 
    Signe de x+1 | +|+ 
    Signe de x(1-2x)x+1 +0|| +0|| 

    L'ensemble solution de l'inéquation 3x+12x+3 est S=[-52;-1[[0;+[. Les points M de la courbe Cf dont l'abscisse appartient à l'ensemble S sont situés sous la droite D.



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