contrôle du 21 septembre 2009

Corrigé de l'exercice 1

Soit la fonction $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{1-2x}{x+3}}$ définie pour tout réel $x>-3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan.

1. Recopier et compléter :

   f est la fonction définie sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2x}{x+3}}$. La courbe $C_f$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{1-2x}{x+3}}$.

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2. Calculer l'image de −2.

   $f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{1-2\times \left(-2\right)}{\left(-2\right)+3}}=5$

   L'image de −2 par la fonction f est égale à 5.

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3. L'antécédent de 0 est-il égal à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ou à ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ?

   méthode 1 :

   Nous avons : $$\begin{array}{ccc}f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1-2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}+3}}=0& \text{et}& f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1-2\times {\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}+3}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{{\displaystyle \frac{10}{3}}}}={\displaystyle \frac{1}{10}}\end{array}$$

   L'antécédent de 0 par la fonction f est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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   méthode 2 :

   Les antécédents de 0 sont les réels x de l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$ solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$. Soit $${\displaystyle \frac{1-2x}{x+3}}=0$$

   On cherche donc les réels $x>-3$ tels que $$\begin{array}{rcl}1-2x=0& \iff & -2x=-1\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   L'antécédent de 0 par la fonction f est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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4. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $C_f$ avec l'axe des ordonnées.

   Le point d'intersection de la courbe $C_f$ avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées $\left(0;f\left(0\right)\right)$. Or $$f\left(0\right)={\displaystyle \frac{1-2\times 0}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

   La courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$

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