contrôles en seconde

contrôle du 19 octobre 2009

Corrigé de l'exercice 1

On considère une fonction f définie sur l'intervalle $[- 5; 5]$ . Le tableau de variations de la fonction f est le suivant :

x	− 5		− 1		1		5
$f (x)$	5		1		2		− 1

Comparer $f (- \frac{5}{3})$ et $f (- \frac{3}{2})$
La fonction f est décroissante sur l'intervalle $[- 5; - 1]$ . Or $- \frac{5}{3} < - \frac{3}{2}$ . Donc $f (- \frac{5}{3}) > f (- \frac{3}{2})$
Peut-on comparer les images de 0 et de 3 ?
D'après le tableau des variations de la fonction f nous avons : $\begin{matrix} 1 < f (0) < 2 & et & - 1 < f (3) < 2 \end{matrix}$
Le tableau ne permet pas de comparer les images de 0 et de 3.
Pour chacune des propositions suivantes, justifier si elle est vraie ou fausse :
1. Si a et b sont deux réels tels que $2 ⩽ a < b ⩽ 4$ alors $f (a) < f (b)$ .
  Sur l'intervalle $[1; 5]$ , la fonction f est décroissante. Par conséquent :
  Si a et b sont deux réels tels que $2 ⩽ a < b ⩽ 4$ alors $f (a) > f (b)$ .
  La proposition a est fausse.
2. Tous les réels de l'intervalle $[- 5; 0]$ ont une image supérieure ou égale à 1.
  Sur l'intervalle $[- 5; 1]$ , la fonction f admet un minimum égal à 1 atteint pour la valeur − 1. Par conséquent :
  Pour tout réel x de l'intervalle $[- 5; 0]$ , $f (x) ⩽ 1$ .
  La proposition b est vraie.
3. Il existe un seul réel de l'intervalle $[- 5; 5]$ qui a une image négative.
  D'après le tableau des variations de la fonction f, l'équation $f (x) = 0$ admet une solution $α \in [1; 5]$ . Or sur l'intervalle $[1; 5]$ , la fonction f est décroissante. Donc
  Pour tout réel x de l'intervalle $[α; 5]$ , $f (x) ⩽ 0$ . L'ensemble des réels qui ont une image négative par la fonction f est l'intervalle $[α; 5]$ .
  La proposition c est fausse.

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