contrôle du 19 octobre 2009

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $\left[-3;4\right]$ par $f\left(x\right)=2x^2-3x$.

1. Déterminer les antécédents de 0 par la fonction f.

   Les antécédents de 0 par la fonction f sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ : $$\begin{array}{cccc}& 2x^2-3x=0& \iff & x\left(2x-3\right)=0\\ \text{Soit}& x=0& \text{ou}& 2x-3=0\\ \text{d'où}& x=0& \text{ou}& x={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   Les antécédents de 0 par la fonction f sont 0 et ${\displaystyle \frac{3}{2}}$

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2. Compléter le tableau suivant :

   On complète le tableau de valeurs de la fonction f à l'aide la calculatrice

   x	− 3	− 2	− 1	0	1	2	3	4
   $f\left(x\right)$	27	14	5	0	− 1	2	9	20

3. Pourquoi peut-on affirmer que la fonction f n'est pas monotone sur $\left[-3;4\right]$ ?

   Une fonction monotone est une fonction qui est soit croissante soit décroissante. Or $f\left(-3\right)>f\left(1\right)$ et $f\left(1\right)<f\left(4\right)$ .

   Donc la fonction f n'est pas monotone sur $\left[-3;4\right]$.

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4. Calculer l'image de 0,8. Le tableau permet-il de trouver le minimum de la fonction f ?

   $f\left(\mathrm{0,8}\right)=2\times {\mathrm{0,8}}^2-3\times \mathrm{0,8}=-\mathrm{1,12}$

   $f\left(\mathrm{0,8}\right)<f\left(1\right)$ par conséquent, le tableau ne permet pas de déterminer le minimum de la fonction f.

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5. 1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left[-3;4\right]$, $f\left(x\right)-f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)=2{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2$

      Calculons l'image par f de ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. $$f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)=2\times {\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-3\times {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{8}}-{\displaystyle \frac{9}{4}}=-{\displaystyle \frac{9}{8}}$$

      D'où $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)& =& 2x^2-3x+{\displaystyle \frac{9}{8}}\\ & =& 2\times \left(x^2-{\displaystyle \frac{3x}{2}}+{\displaystyle \frac{9}{16}}\right)\\ & =& 2{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[-3;4\right]$, $f\left(x\right)-f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)=2{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2$

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   2. En déduire l'existence d'un extremum pour la fonction f.

      Pour tout réel x, ${\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2⩾0$. Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[-3;4\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)⩾0& \iff & f\left(x\right)⩾f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)\end{array}$$

      Ainsi, la fonction f admet un minimum sur l'intervalle $\left[-3;4\right]$ , atteint pour $x={\displaystyle \frac{3}{4}}$ . Le minimum de la fonction f est égal à $-{\displaystyle \frac{9}{8}}$

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