contrôles en seconde

contrôle du 19 octobre 2009

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=9-4x2x2+1. On note Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

  1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe Cf avec les axes du repère.

    • La courbe Cf coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse 0 : f(0)=9-4×0202+1=9

      La courbe Cf coupe l'axe des ordonnées au point (0;9)


    • Les abscisses des points d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation f(x)=0 :9-4x2x2+1=0(3+2x)(3-2x)x2+1=0(3+2x)(3-2x)=0etx2+10Soit3+2x=0ou3-2x=0 d'où x=-32oux=32

      La courbe Cf coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées (-32;0) et (32;0)


  2. Étudier le signe de f(x)-f(0). En déduire l'existence d'un extremum pour la fonction f.

    f(x)-f(0)=9-4x2x2+1-9=9-4x2-9(x2+1)x2+1=9-4x2-9x2-9x2+1=-13x2x2+1

    Or pour tout réel x, x20 et x2+1>0 d'où -13x2x2+10. Ainsi, pour tout réel x, f(x)-f(0)0f(x)f(0)

    Par conséquent, la fonction f admet un maximum atteint en 0. Le maximum de la fonction f est égal à 9.


  3. Montrer que pour tout réel x, f(x)>-4. Peut on conclure que − 4 est le minimum de la fonction f ?

    Étudions le signe de f(x)-(-4) : f(x)-(-4)=9-4x2x2+1+4=9-4x2+4(x2+1)x2+1=9-4x2+4x2+4x2+1=13x2+1

    Or pour tout réel x, x2+1>0 d'où 13x2+1>0. Soit pour tout réel x, f(x)-(-4)>0

    Ainsi, pour tout réel x, f(x)>-4


    Comme 13x2+1>0 , il n'existe pas de réel x tel que f(x)=-4 donc − 4 n'est pas le minimum de la fonction f



Courbe représentative de la fonction f

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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