contrôle du 19 novembre 2009

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction affine telle que $f\left(-3\right)=4$ et $f\left(6\right)=-2$.

1. Déterminer l'expression de f en fonction de x.

   f est une fonction affine alors pour tout réel x, $f\left(x\right)=ax+b$ avec : $$a={\displaystyle \frac{f\left(6\right)-f\left(-3\right)}{6-\left(-3\right)}}={\displaystyle \frac{-2-4}{6+3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$

   D'où $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\left(x+3\right)+f\left(-3\right)$. Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\left(x+3\right)+4& \iff & f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times 3+4\\ & \iff & f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+2\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$

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2. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère.

   La courbe représentative de la fonction affine f est la droite d'équation $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+2$. Cette droite passe par les points $A\left(-3;4\right)$ et $B\left(6;-2\right)$.

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3. Quels sont les antécédents éventuels de −1 ?

   Les antécédents éventuels de −1 sont les réels x solutions de l'équation $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=-1& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x+2=-1\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x=-2-1\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x=-3\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$$

   −1 a pour antécédent ${\displaystyle \frac{9}{2}}$

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4. Soit a et b deux réels tels que $a<b$, comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$.

   L'accroissement moyen de la fonction affine f est égal à $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ donc f est une fonction strictement décroissante.

   f est une fonction strictement décroissante donc pour tous réels a et b si $a<b$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$

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