contrôle du 19 novembre 2009

Corrigé de l'exercice 2

f est la fonction carré définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2$ . Sa courbe représentative $\left(P\right)$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Calculer les images des réels $-\sqrt{6}$, $1-\sqrt{2}$, ${10}^{-3}$ et ${\displaystyle \frac{7}{13}}$.

   • ${\left(-\sqrt{6}\right)}^2=6$ donc $f\left(-\sqrt{6}\right)=6$

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   • ${\left(1-\sqrt{2}\right)}^2=1-2\sqrt{2}+2$ donc $f\left(1-\sqrt{2}\right)=3-2\sqrt{2}$

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   • ${\left({10}^{-3}\right)}^2={10}^{-6}$ donc $f\left({10}^{-3}\right)={10}^{-6}$

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   • ${\left({\displaystyle \frac{7}{13}}\right)}^2={\displaystyle \frac{49}{169}}$ donc $f\left({\displaystyle \frac{7}{13}}\right)={\displaystyle \frac{49}{169}}$

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2. Quels sont les antécédents éventuels de 12 ?

   Les antécédents de 12 sont $-\sqrt{\mathrm{12}}$ et $\sqrt{\mathrm{12}}$. Soit $-2\sqrt{3}$ et $2\sqrt{3}$.

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3. Placer dans le repère précédent le point A de coordonnées $A\left(-{\displaystyle \frac{9}{2}};20\right)$. Le point A appartient-il à la parabole $\left(P\right)$ ?

   Nous avons : $$\begin{array}{cccc}{\left({\displaystyle \frac{9}{2}}\right)}^2& =& {\displaystyle \frac{81}{4}}& \ne 20\end{array}$$

   Les coordonnées du point $A\left(-{\displaystyle \frac{9}{2}};20\right)$ ne vérifient pas l'équation de la parabole $\left(P\right)$. Donc le point A n'appartient pas à la parabole $\left(P\right)$

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4. Résoudre dans l'ensemble des réels l'inéquation $f\left(x\right)⩾8$.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)⩾8& \iff & x^2⩾8\\ & \iff & x^2-8⩾0\\ & \iff & \left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)⩾0\end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		$-2\sqrt{2}$		$2\sqrt{2}$		$+\infty$
   Signe de $\left(x-2\sqrt{2}\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $\left(x+2\sqrt{2}\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   Signe de $\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   Ainsi, $f\left(x\right)⩾8$ pour tout réel $x\in \left]-\infty ;-2\sqrt{2}\right]\cup \left[2\sqrt{2};+\infty \right[$

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5. Soit a un réel tel que : $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}⩽a<-\mathrm{0,1}$. Déterminer un encadrement de $a^2$.

   Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ , la fonction carré est strictement décroissante. Par conséquent, $$\begin{array}{lrcl}\text{Si}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}⩽a<-\mathrm{0,1}& \text{alors}& {\left(-\mathrm{0,1}\right)}^2<a^2⩽{\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\right)}^2\\ & & \text{Soit}& \mathrm{0,01}<a^2⩽{\displaystyle \frac{2}{9}}\end{array}$$

   Ainsi, si $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}⩽a<-\mathrm{0,1}$ alors $\mathrm{0,01}<a^2⩽{\displaystyle \frac{2}{9}}$

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6. Si $x\in \left]-1;{10}^{-2}\right]$, à quel intervalle appartient $f\left(x\right)$ ?

   La fonction carré n'est pas monotone sur $ℝ$.

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ , la fonction carré est strictement décroissante. Par conséquent, si $x\in \left]-1;0\right]$ alors $0⩽x^2<1$

   • Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, la fonction carré est strictement croissante. Par conséquent, si $x\in \left[0;{10}^{-2}\right]$ alors $0⩽x^2⩽{10}^{-4}$

   Ainsi, si $x\in \left]-1;{10}^{-2}\right]$ alors $f\left(x\right)\in \left[0;1\right[$.

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