contrôle du 18 décembre 2012

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2-4$. Sa courbe représentative est la parabole P tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-6\right)=-2$ et $g\left(4\right)=3$.

   1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(4\right)-g\left(-6\right)}{4-\left(-6\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{3+2}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}x+b$. Or $g\left(4\right)=3$ d'où $${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 4+b=3\iff b=1$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}+1$.

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   2. Tracer la courbe $D_g$ représentative de la fonction g dans le repère donné précédent.

2. 1. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$

      Pour tout réel x, $$f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^2-4-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}+1\right)=x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-5$$

      Or pour tout réel x, $$\left(x+2\right)\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=x^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}x+2x-5=x^2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-5$$

      Donc pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

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   2. Résoudre dans $ℝ$, l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

      $$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)⩽g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0& \iff & \left(x+2\right)\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)⩽0\end{array}$$

      Étudions le signe du produit $\left(x+2\right)\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$

      x	$-\infty$		$-2$		${\displaystyle \frac{5}{2}}$		$+\infty$
      Signe de $\left(x+2\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      ---

      Ainsi, l'ensemble S des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ est l'intervalle $S=\left[-2;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$

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