contrôle du 16 octobre 2012

exercice 1

1. Soit f la fonction affine telle que $f\left(1\right)=-3$ et $f\left(3\right)-f\left(-2\right)=-2$.

   1. Quel est le sens de variation de la fonction f ?

   2. Donner le tableau de signes de la fonction f .

2. g est une fonction affine telle que $g\left(-1\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $g\left(2\right)=3\times g\left(-1\right)$.
   Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

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exercice 2

ABCD est un rectangle de longueur $\mathrm{AB}=12$ et de largeur $\mathrm{AD}=5$.
M est un point mobile le long de la ligne brisée ABC. Si $M\in \left[\mathrm{AB}\right]$, on pose $x=\mathrm{AM}$ ; si $M\in \left[\mathrm{BC}\right]$, on pose $x=\mathrm{AB}+\mathrm{BM}$.

Soit f la fonction telle que $f\left(x\right)=\mathrm{DM}$.

1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

2. Établir le tableau des variations de la fonction f.

3. En déduire le nombre de solutions de chacune des équations suivantes $f\left(x\right)=13$ et $f\left(x\right)=8$.

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exercice 3

ABCD est un carré de côté 6. À tout point M du segment [AB], on associe le réel $x=\mathrm{AM}$.

Le nombre $f\left(x\right)$ est égal à l'aire du trapèze BCDM.

1. Montrer que sur l'intervalle $\left[0;6\right]$, f est affine.

2. Résoudre $f\left(x\right)⩽24$.

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exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=4x^3-28x+2$ . Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée dans le repère orthogonal donné en annexe.

1. Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=2-3x$.
   Tracer la courbe $D_g$ représentative de la fonction g dans le repère donné en annexe.

2. 1. Factoriser $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

   2. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

   3. En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et $D_g$.

   4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $D_g$.

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