contrôle du 20 décembre 2013

exercice 1

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2-6x+1$. On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
La parabole $C_f$ est tracée en annexe ci-dessous.

1. 1. Le point $A\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};12\right)$ appartient-il à la courbe $C_f$ ?

   2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=10$ et $g\left(6\right)=-6$.

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annexe.

3. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2-9$.

   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $C_f$ et de la droite D.

   3. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.
      En déduire les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite D.

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exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

1. Placer les points $A\left(-1;3\right)$, $B\left(6;2\right)$ et $C\left(4;-2\right)$.

2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

3. Quelle est la nature du triangle AOB ?

4. 1. Calculer les coordonnées du milieu M du segment [BC].

   2. Calculer l'abscisse x du point $E\left(x;1\right)$ de la droite (AM).

5. Les points D, E et B sont-ils alignés ?

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