Soit f la fonction définie sur par . On note la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
La parabole est tracée en annexe ci-dessous.
Le point appartient-il à la courbe ?
donc le point n'appartient pas à la courbe .
Donner le tableau des variations de la fonction f.
f est une fonction polynôme du second degré avec , et .
Comme , la fonction f admet un minimum atteint pour soit
Le minimum de la fonction f est :
D'où le tableau des variations de de la fonction f :
x | – ∞ | 3 | |||
Soit g la fonction affine telle que et .
Déterminer l'expression de g en fonction de x.
La fonction affine g est définie pour tout réel x par avec
Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par . Or d'où
g est la fonction définie pour tout réel x par .
Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annexe.
g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite D passant par les points de coordonnées et
Montrer que pour tout réel x, .
Pour tout réel x,
Ainsi, pour tout réel x, .
Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole et de la droite D.
Les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite D sont les solutions de l'équation
Or pour tout réel x,
D'autre part, et
La droite D coupe la parabole en deux points de coordonnées et .
Étudier le signe de . En déduire les positions relatives de la parabole et de la droite D.
D'après la question précédente, pour tout réel x, . Étudions le signe du produit à l'aide d'un tableau :
x | 5 | ||||||
Signe de | − | + | + | ||||
Signe de | − | − | + | ||||
Signe de | + | − | + |
Les positions relatives de la parabole et de la droite D se déduisent du signe de .
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