contrôles en seconde

contrôle du 20 décembre 2013

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie sur par f(x)=x2-6x+1. On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
La parabole Cf est tracée en annexe ci-dessous.

    1. Le point A(-32;12) appartient-il à la courbe Cf ?

      f(-32)=(-32)2-6×(-32)+1=94+9+1=494

      f(-32)12 donc le point A(-32;12) n'appartient pas à la courbe Cf.


    2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

      f est une fonction polynôme du second degré avec a=1, b=-6 et c=1.

      Comme a>0, la fonction f admet un minimum atteint pour x=-b2a soit x=--62=3

      Le minimum de la fonction f est : f(3)=32-6×3+1=-8

      D'où le tableau des variations de de la fonction f :

      x– ∞ 3 +
      f(x) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -8

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  1. Soit g la fonction affine telle que g(-2)=10 et g(6)=-6.

    1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par g(x)=ax+b avec a=g(6)-g(-2)6-(-2)Soita=-6-108=-2

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par g(x)=-2x+b. Or g(-2)=10 d'où 4+b=10b=6

      g est la fonction définie pour tout réel x par g(x)=-2x+6.


    2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annexe.

      g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite D passant par les points de coordonnées (-2;10) et (6;-6)

      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Montrer que pour tout réel x, f(x)-g(x)=(x-2)2-9.

      Pour tout réel x, f(x)-g(x)=x2-6x+1-(-2x+6)=x2-6x+1+2x-6=x2-4x-5=(x-2)2-4-5=(x-2)2-9

      Ainsi, pour tout réel x, f(x)-g(x)=(x-2)2-9.


    2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole Cf et de la droite D.

      Les abscisses des points d'intersection de la parabole Cf et de la droite D sont les solutions de l'équation f(x)-g(x)=0

      Or pour tout réel x, f(x)-g(x)=0(x-2)2-9=0(x-2-3)(x-2+3)=0(x-5)(x+1)=0x=5  ou  x=-1

      D'autre part, f(-1)=g(-1)=2+6=8 et f(5)=g(5)=-10+6=-4

      La droite D coupe la parabole Cf en deux points de coordonnées (-1;8) et (5;-4).


    3. Étudier le signe de f(x)-g(x). En déduire les positions relatives de la parabole Cf et de la droite D.

      D'après la question précédente, pour tout réel x, f(x)-g(x)=(x-5)(x+1). Étudions le signe du produit (x-5)(x+1) à l'aide d'un tableau :

      x

      - -1 5 +
      Signe de (x+1) 0||+|+ 
      Signe de (x-5) |0||+ 
      Signe de f(x)-g(x) +0||0||+ 

      Les positions relatives de la parabole Cf et de la droite D se déduisent du signe de f(x)-g(x).

      • Sur chacun des intervalles ]-;-1] ou [5;+[ la parabole Cf est au dessus de la droite D.
      • Sur l'intervalle [-1;5] la parabole Cf est au dessous de la droite D.
      • La droite D coupe la parabole Cf en deux points de coordonnées (-1;10) et (5;-4).


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